Substitution richtig? < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Fr 22.07.2011 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | [mm][/mm]Stammfunktion zu
[mm]\int \bruch{sinx-2x}{cos(x)+x^2+1} \ dx[/mm]
gesucht. |
Guten Abend alle,
Empfiehlt es sich hier die Substitution mit [mm]u=cos(x)+x^2+1[/mm] durchzuführen?
Demnach ist [mm]u'=(-sin(x))+2x[/mm] und [mm]dx=\bruch{du}{(-sin(x))+2x}=-1 \ \bruch{du}{sin(x)-2x}[/mm]
Also [mm]\int \bruch{sinx-2x}{u} \ (-1) \ \bruch{du}{sin(x)-2x}=-\int \bruch{1}{u}=-ln(u)[/mm]
Rücksubstitution ergibt:
[mm]\int \bruch{sinx-2x}{cos(x)+x^2+1} \ dx=- \ ln \ (cos(x)+x^2+1)[/mm]
ist das alles korrekt oder habe ich gegen Regeln verstoßen?
Danke für die Überprüfung.
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Hallo, drei kleine Kleinigkeiten
- es fehlt in der 2. Zeile beim 2. Integral "du"
- es fehlt die Integrationskostante C
- auch wenn [mm] cos(x)+x^{2}+1>0 [/mm] ist, setze Betragsstriche
Steffi
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> - auch wenn [mm]cos(x)+x^{2}+1>0[/mm] ist, setze Betragsstriche
Hallo Steffi,
hier ist aber wirklich klar, dass [mm] cos(x)+x^{2}+1 [/mm] garantiert
immer positiv ist (für reelle x), also ist dies doch gerade
einmal ein Fall, bei welchem man mit blütenreinem Gewissen auf
die Absolutstriche verzichten kann (im Gegensatz zu vielen
anderen Fällen).
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Fr 22.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Steffi,
> Hallo, drei kleine Kleinigkeiten
>
> - es fehlt in der 2. Zeile beim 2. Integral "du"
> - es fehlt die Integrationskostante C
nicht notwendigerweise. Man kann z.B. mit [mm] $\int [/mm] f(x)dx=F(x)$ auch meinen, dass linkerhand eigentlich die Menge aller Stammfunktionen (die Klasse aller Stammfunktionen) zu [mm] $f\,$ [/mm] gemeint ist, und die Gleichung meint dann eigentlich, dass [mm] $F\,$ [/mm] rechterhand ein Repräsentant dieser Klasse ist.
(Strenggenommen kennst Du sowas, etwa bei [mm] $0.5=1/2\,.$)
[/mm]
Ganz strenggenommen würde man dann sowas schreiben:
[mm] $$\int f(x)dx=[F(x)]\,,$$
[/mm]
wobei $[.]$ hier als "Symbol für Äquivalenzklasse" gemeint ist.
Der eigentliche Punkt ist: Es hängt ein wenig davon ab, wie man [mm] $\int [/mm] f(x)dx$ definiert hat. Übrigens kann man durchaus auch [mm] $\int f:=\int [/mm] f(x)dx$ etc. vereinbaren. In diesem Sinne sind Deine ersten beiden Punkte nur bedingt berechtigte Kritiken. Allerdings ist Deine Ansicht auch eine sehr verbreitete. Ich wollte nur darauf aufmerksam machen, dass es auch andere Vereinbarungen gibt. Nicht, dass man sich mal in gewisser Literatur dadurch verwirren läßt (gerade, wenn man sich mit [mm] $L^2$ [/mm] und Fouriertransformationen etc. beschäftigt, sollte man vorher genau lesen, welche Schreibweisen dort welche Bedeutung haben).
> - auch wenn [mm]cos(x)+x^{2}+1>0[/mm] ist, setze Betragsstriche
Das finde ich unnötig. Dann fände ich's besser, kurz eine Kleine Randnotiz zu machen:
"Für alle reellen [mm] $x\,$ [/mm] gilt [mm] $\cos(x) \ge [/mm] -1 [mm] \Rightarrow \cos(x)+1 \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow \cos(x)+x^2+1 \ge [/mm] 1 > [mm] 0\,.$"
[/mm]
Edit: Die alte Version steht oben, man beachte dabei aber Al'S Hinweis. Was ich eigentlich sagen wollte, ist, dass
[mm] $$\cos(x) \ge [/mm] -1 [mm] \Rightarrow \cos(x)+1 \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow \cos(x)+x^2+1 \ge [/mm] 0$$
für alle rellen [mm] $x\,$ [/mm] gilt. Und man daher dort keine Betragsstriche braucht. Warum man dann in der Tat in der letzten Ungleichung auch $> [mm] 0\,$ [/mm] schreiben kann, sieht man durch Als angehängte Mitteilung! (Edit Ende)
Aber das ist ein wenig subjektiv...
Gruß,
Marcel
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> > - es fehlt die Integrationskostante C
>
> nicht notwendigerweise. Man kann z.B. mit [mm]\int f(x)dx=F(x)[/mm]
> auch meinen, dass linkerhand eigentlich die Menge aller
> Stammfunktionen (die Klasse aller Stammfunktionen) zu [mm]f\,[/mm]
> gemeint ist, und die Gleichung meint dann eigentlich, dass
> [mm]F\,[/mm] rechterhand ein Repräsentant dieser Klasse ist.
> (Strenggenommen kennst Du sowas, etwa bei [mm]0.5=1/2\,.[/mm])
> Ganz strenggenommen würde man dann sowas schreiben:
> [mm]\int f(x)dx=[F(x)]\,,[/mm]
> wobei [mm][.][/mm] hier als "Symbol für
> Äquivalenzklasse" gemeint ist.
Hallo Marcel,
falls du zulässt, dass man etwa [mm] $\integral sin(2\,x)\,dx\ [/mm] =\ [mm] sin^2(x)$
[/mm]
schreiben darf, dann kann ein anderer kommen und schreiben:
[mm] $\integral sin(2\,x)\,dx\ [/mm] =\ [mm] -\,cos^2(x)$
[/mm]
Der dritte schließt daraus mittels der Transitivität der Gleichheit,
dass
$\ [mm] sin^2(x)\ [/mm] =\ [mm] -\,cos^2(x)$
[/mm]
was offensichtlich falsch ist. Deshalb finde ich es nach wie vor
sinnvoll, dass man die Integrationskonstante hinschreibt. Das
kostet bestimmt nicht mehr als die Schreibweise mit den
Äquivalenzklassenklammern und besagt eigentlich genau
dasselbe. Bei beiden Schreibweisen muss man wissen, wie
sie zu verstehen sind. Äquivalenz ? Da kämen doch auch
viele andere Äquivalenzen in Frage. Mit der additiven (aber
unbestimmten) Konstanten C wird der wahre Sachverhalt
meiner Ansicht nach prägnanter zum Ausdruck gebracht.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:01 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > > - es fehlt die Integrationskostante C
> >
> > nicht notwendigerweise. Man kann z.B. mit [mm]\int f(x)dx=F(x)[/mm]
> > auch meinen, dass linkerhand eigentlich die Menge aller
> > Stammfunktionen (die Klasse aller Stammfunktionen) zu [mm]f\,[/mm]
> > gemeint ist, und die Gleichung meint dann eigentlich, dass
> > [mm]F\,[/mm] rechterhand ein Repräsentant dieser Klasse ist.
> > (Strenggenommen kennst Du sowas, etwa bei [mm]0.5=1/2\,.[/mm])
> > Ganz strenggenommen würde man dann sowas schreiben:
> > [mm]\int f(x)dx=[F(x)]\,,[/mm]
> > wobei [mm][.][/mm] hier als "Symbol
> für
> > Äquivalenzklasse" gemeint ist.
>
>
> Hallo Marcel,
>
> falls du zulässt, dass man etwa [mm]\integral sin(2\,x)\,dx\ =\ sin^2(x)[/mm]
>
> schreiben darf, dann kann ein anderer kommen und
> schreiben:
>
> [mm]\integral sin(2\,x)\,dx\ =\ -\,cos^2(x)[/mm]
>
> Der dritte schließt daraus mittels der Transitivität der
> Gleichheit,
> dass
>
> [mm]\ sin^2(x)\ =\ -\,cos^2(x)[/mm]
>
> was offensichtlich falsch ist.
ja, weil diese Gleichheit die Äquivalenzklassen vernachlässigt. Um das zu vermeiden kann man aber dann genausogut ein neues Gleichheitssymbol definieren
[mm] $$\int [/mm] f(x)dx [mm] \overset{[.]}{=}F(x)\,.$$
[/mm]
(Hier ist dann eigentlich gemeint: [mm] $\int [/mm] f(x)dx=[F]$ (wobei das dann per Definitionem von [mm] $\int [/mm] f(x)dx$ gilt).)
Wenn dann [mm] $F\,$ [/mm] und [mm] $G\,$ [/mm] in der selben Äquivalenzklasse liegen, dann schreiben wir auch $F [mm] \overset{[.]}{=}G$ [/mm] (oder [mm] $F(x)\overset{[.]}{=}G(x)$). [/mm] (Das wäre eigentlich das, wie ich das Zeichen [mm] $\overset{[.]}{=}$ [/mm] dann definieren und verwenden wollen würde. Das ist etwas anderes wie oben, denn oben ist ja schon [mm] $\int [/mm] f(x)dx:=[F]$ und [mm] $\int f(x)dx\overset{[.]}{=}F$ [/mm] würde dann in letztstehendem Sinne dann strenggenommen rein formal $ F=[F]$ bedeuten. Aber hier wäre wirklich aus dem Zusammenhang klar, mit welcher Bedeutung [mm] $\overset{[.]}{=}$ [/mm] verwendet wird.)
Indem Sinne wäre klar, dass dann in der Tat
[mm] $$-\cos^2(x)\overset{[.]}{=}\sin^2(x)$$
[/mm]
gilt.
> Deshalb finde ich es nach
> wie vor
> sinnvoll, dass man die Integrationskonstante hinschreibt.
Ich sage nicht, dass es nicht sinnvoll ist. Ich sage nur, dass es auch andere Konventionen gibt. Etwa auch wenn man in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist und sich mit [mm] $\mathcal{L}$ [/mm] und [mm] $L\,$-Räumen [/mm] beschäftigt, sollte man derartiges beachten.
Und ähnliches macht man ja auch bei rationalen Zahlen: Aus $1/2=2/4$ folgert man ja auch nicht $1=2$ und [mm] $2=4\,.$ [/mm] Auch, wenn diese Folgerung nicht notwendig naheliegend sein müßte. Aber wenn man in Definitionen guckt, wo man rationale Zahlen als Paare $(p,q)$ von [mm] $\IZ \times (\IZ \setminus \{0\})$ [/mm] auffasst, ist das auch "verleitend".
Wenn eine Definition solche Gefahren "birgt", so kann man sie dennoch benutzen und darauf hinweisen (sofern diese Gefahren so übersichtlich sind, dass man "kurz" auf sie hinweisen kann und bemerken kann, dass dann aus der Situation heraus klar ist, wie manches zu lesen/aufzufassen ist).
Ähnliches kennt man ja auch bei [mm] $\sum a_k\,,$ [/mm] wobei das zunächst mal die Folge der Teilsummen bezeichnet, und im Falle der Konvergenz aber auch den Grenzwert dieser Folge der Teilsummen bezeichnen kann. Und was nun genau gemeint ist, ergibt sich dann aus der Situation heraus bzw. aus dem Zusammenhang.
Daher sehe ich die Gefahr einer "Gleichheit [mm] $\sin^2(x)=-\cos^2(x)$" [/mm] nicht ganz so kritisch.
> Das
> kostet bestimmt nicht mehr als die Schreibweise mit den
> Äquivalenzklassenklammern und besagt eigentlich genau
> dasselbe. Bei beiden Schreibweisen muss man wissen, wie
> sie zu verstehen sind.
Eben. Und streng genommen ist das auch alles ein wenig Erfahrungs-, Gewöhnungs und Geschmackssache. Meiner Ansicht nach sollte man sich halt nur nochmal klarmachen, was der Autor hier für Notationen in welchem Sinne benutzt. (Wenn Du selbst etwas schreibst, kannst Du das so machen, wie Du das für Dich für am besten hältst, und ggf. bzw. am besten jedenfalls dazuschreiben, in welchem Sinne Du das Symbol [mm] $\int [/mm] f(x)dx$ verwendest.)
Und dass das variieren kann: Das ist der eigentliche Inhalt, den ich nochmal hervorheben wollte!
> Äquivalenz ? Da kämen doch auch
> viele andere Äquivalenzen in Frage.
Ich hab' doch schon geschrieben, in welchem Sinne das oben zu verstehen ist: Die Äquivalenzklasse aller Stammfunktionen zu [mm] $f\,$ [/mm] (falls [mm] $f\,$ [/mm] denn eine hat) bezeichnen wir mit [mm] $[F]\,,$ [/mm] und deren Repräsentanten unterscheiden sich (hier) nur bis auf eine additive konstante Funktion. (Generell kann es sein, dass derartige Definitionen nur unter gewissen Voraussetzungen sinnhaft sind, so wie vielleicht ein zusammenhängender Definitionsbereich oder ähnliches... ich will das nicht komplett durchspielen!)
So ist oben etwa [mm] $[-\cos^2(x)]=[\sin^2(x)]\,,$ [/mm] weil [mm] $\sin^2(x) [/mm] = 1 [mm] -\cos^2(x)\,.$
[/mm]
> Mit der additiven
> (aber
> unbestimmten) Konstanten C wird der wahre Sachverhalt
> meiner Ansicht nach prägnanter zum Ausdruck gebracht.
>
> LG Al-Chw.
Mag sein. Aber wenn man sagt: bei [mm] $\int [/mm] f(x)dx=F(x)$ soll [mm] $F(x)\,$ [/mm] nur als "irgendeine Stammfunktion" von [mm] $f\,$ [/mm] stehen, so ist einem das (nach ein wenig) Übung auch bewußt, dass da durchaus eine additive Konstante (genauer sollte man dann übrigens auch von einer konstanten Funktion sprechen) hinzugefügt werden darf.
Denn schließlich lernt man irgendwann mal, dass unter gewissen Voraussetzungen gilt: Stammfunktion sind nur bis auf additive Konstanten eindeutig.
Wie gesagt: Ich finde es einfach nur wichtig, dass man sich beim Umgang mit entsprechender Literatur klarmacht, was da welche Notation bedeutet. Dann versteht man vielleicht auch, wenn mal "verwirrendes" wie
[mm] $$\sin^2=-\cos^2$$
[/mm]
auftaucht. Wobei ich denke, dass die meisten Autoren soviel dydaktisches Geschick besitzen, dann da wenigstens ab und an mal derartiges zu kommentieren.
Btw.:
Wie gesagt: Gerade in Literatur zur [mm] $L^2$ [/mm] Fourieranalysis wird oft zwischen [mm] $f\,$ [/mm] als [mm] $L^2$ [/mm] und als [mm] $\mathcal{L}^2$ [/mm] Funktion geswitcht.
(Strenggenommen ist eine [mm] $L^2$-Funktion [/mm] ja keine Funktion, sondern eine Klasse von [mm] $\mathcal{L}^2$-Funktionen. [/mm] Dennoch spricht man da von [mm] $L^2$-Funktionen. [/mm] Und man sagt etwa kurz: Sei [mm] $f\,$ [/mm] eine [mm] $L^2$-Funktion, [/mm] wobei das dann so zu verstehen ist:
Sei $[f]$ eine Äquivalenzklasse aus [mm] $L^2\,,$ [/mm] wobei die Funktion $f [mm] \in \mathcal{L}^2\$ [/mm] ein Repräsentant dieser Klasse ist... (erwähnt sei dabei auch: die Notation [mm] $[f]\,$ [/mm] soll ja schon $f [mm] \in [/mm] [f]$ beinhalten).)
Ich habe mir das oben nicht einfach aus den Fingern gesogen, sondern bewußt darauf hingewiesen, weil mir derartiges schon oft vor die Augen gekommen ist.
P.S.:
Strenggenommen müßtest Du dann übrigens auch schon drauf achten, dass Du nicht "von der Funktion [mm] $f(x)\,$" [/mm] sprichst, sondern von der Funktion [mm] $f\,.$ [/mm] (Insbesondere gehören dann Definitionsbereich, Wertebereich (und ggf. Abbildungsvorschrift) ja auch dazu.)
Auf irgendeine ähnliche Problematik hatte mein Analysis-Prof. bei der Verwendung des Symbols $f'(x)$ hingewiesen, was ich aber gerade nicht mehr ganz weiß. Also manches in der Mathematik wird manchmal doch nicht "sauber" notiert, auch wenn das möglich ist; der Grund ist, dass die Kurznotationen dann doch klar sind und man mit weniger Notation dennoch den Informationsgehalt transportiert - sozusagen "auf's wesentliche beschränkt darstellt".
P.P.S.
Mir ist durchaus bewußt, dass Du vielleicht alles, vieles oder das meiste, was ich hier geschrieben habe, eh schon weißt. Aber für Außenstehende wollte ich ein wenig klarer darstellen, was wir hier diskutieren und warum. 
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
du hast dich ja recht ins Zeug gelegt für eine Reaktion
auf meine recht kurze Bemerkung ...
> P.S.:
> Strenggenommen müßtest Du dann übrigens auch schon
> drauf achten, dass Du nicht "von der Funktion [mm]f(x)\,[/mm]"
> sprichst, sondern von der Funktion [mm]f\,.[/mm] (Insbesondere
> gehören dann Definitionsbereich, Wertebereich (und ggf.
> Abbildungsvorschrift) ja auch dazu.)
Diesen Ratschlag musst du bestimmt nicht an mich richten ...
(es kann zwar sein, dass ich mal auf solchen "Slang" wie
etwa "die Funktion f(x)" oder "die Funktion [mm] y=x^2 [/mm] " eingehe,
ohne die damit verbundenen formalen Fehler zu beanstanden)
> Also manches in der Mathematik wird manchmal doch nicht
> "sauber" notiert, auch wenn das möglich ist; der Grund
> ist, dass die Kurznotationen dann doch klar sind und man
> mit weniger Notation dennoch den Informationsgehalt
> transportiert - sozusagen "auf's wesentliche beschränkt
> darstellt".
Oft wird ja gerade im Mathematikunterricht der Eindruck
erweckt und transportiert, wirklich mathematisch sei nur
das, was in einer möglichst knappen Formel oder Gleichung
daherkommt. Dass gerade etwa in einem Beweis ein
erläuternder Text aber ganz wesentlich und hilfreich sein
kann, wird dabei oft übersehen. Und wenn mir jemand auf
die Frage, was der Satz des Pythagoras besage, antwortet:
" [mm] a^2+b^2=c^2 [/mm] " , dann wird mir übel.
Den "Zwang zur Kürze", bei dem oft das Wichtigste einfach
unter den Tisch fällt, finde ich für die Vermittlung von
mathematischem Denken ziemlich schädlich.
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:24 Sa 23.07.2011 | | Autor: | lzaman |
Hi Ihr beiden, ich finde eure Diskussion gar nicht mal so schlecht.
Ich will euch mal zeigen, wie eine Musterlösung zu dieser Aufgabe bei den Ingenieuren ausschauen mag:
Substituiert wird [mm]u=cos(x)+x^2+1[/mm] mit [mm]\bruch{du}{dx}=(-sin(x))+2x[/mm] . Dann gilt
[mm]F(x)=-\int \bruch{1}{u} \ du=-ln(u)=- \ ln \ (cos(x)+x^2+1)[/mm].
Das wars auch schon. Das ist die volle Punktzahl.
Danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:46 Sa 23.07.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Izaman,
> Hi Ihr beiden, ich finde eure Diskussion gar nicht mal so
> schlecht.
Ich finde sie sogar sehr instruktiv. 
Konstruktiv sowieso.
> Ich will euch mal zeigen, wie eine Musterlösung zu dieser
> Aufgabe bei den Ingenieuren ausschauen mag:
Tja, ich denke immer öfter, dass das genau der Grund war, warum ich mal nach 6 Semestern ein Ingenieurstudium abgebrochen habe. Ich wollte angewandte Mathematik, fand aber nur "Anwendung", Kochrezepte, Halbwissen. Das mag praktikabel sein und andere zufriedenstellen, für mich aber war es einfach nichts.
Dass man ohne Integrationskonstante die volle Punktzahl bekommt, finde ich geradezu bedenklich. In den Ingenieurswissenschaften kommt mir die Verwendung des Gleichheitszeichen meist vor, als bedeute es "ist im praktischen Gebrauch ziemlich genau das gleiche wie".
Mein Lieblings-T-Shirt für Physiker trägt die Aufschrift "2*2=5".
Darunter steht ganz klein "...für besonders große Werte von 2".
Maschinenbauer würden da noch einen Sicherheitsfaktor von mindestens 1,8 dranmultiplizieren, Bauingenieure würden es mit ein paar Schnittgrößen versehen (und eine DIN-Norm angeben), und Elektrotechniker hätten die Gleichung sowieso komplex angegeben.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:59 Sa 23.07.2011 | | Autor: | lzaman |
Es gibt so viele Meinungen und jede ist ein Stück Wahrheit...
Naja, was soll ich noch dazu sagen? Ich war letztens bei einem Chirurgen und dieser fragte mich nach einem ausführlichem Gespräch: "Und was studieren Sie?".
Ich antwortete: "Elektrotechnik"
Er dazu: "Wieso so etwas schweres?"
Dadurch war ich erstaunt, aber auch motiviert weiter zu machen. Ich überlege auch immer mehr, noch ein Mathematik Studium danach zu absolvieren. Dies ist aber "Zukunftsmusik"...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:18 Sa 23.07.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
offenbar ein guter Arzt!
> Es gibt so viele Meinungen und jede ist ein Stück
> Wahrheit...
Das klingt ja fast nach Altersweisheit.
> Naja, was soll ich noch dazu sagen? Ich war letztens bei
> einem Chirurgen und dieser fragte mich nach einem
> ausführlichem Gespräch: "Und was studieren Sie?".
>
> Ich antwortete: "Elektrotechnik"
>
> Er dazu: "Wieso so etwas schweres?"
Siehe oben.
> Dadurch war ich erstaunt, aber auch motiviert weiter zu
> machen. Ich überlege auch immer mehr, noch ein Mathematik
> Studium danach zu absolvieren. Dies ist aber
> "Zukunftsmusik"...
Wenn Dein Studienplan Dir ein bisschen Zeit lässt - zugegeben eher unwahrscheinlich - dann schnupper mal in eine "echte" Mathevorlesung hinein. E-Technik und Physik brauchen schon richtig viel Mathematik, aber trotzdem ist die Vorgehensweise meist eine andere. Nimm am besten eine Vorlesung, von der Du sicher bist, dass Du alles schon weißt, was in ihr behandelt werden könnte. Es muss ja nicht das ganze Semester lang sein...
Ich habe nach dem Maschinenbau etwas ganz anderes studiert (Theologie), dann noch ein Grundstudium Mathematik, und während der ganzen langen Zeit mir sozusagen auch ein studium generale gegönnt, von Wahrnehmungspsychologie über Grundzüge der indogermanischen Sprachwissenschaft, chinesische Geschichte, Musikwissenschaft, einen Japanischkurs für Japanologen, Einführung in BGB und StGB, Malerei der Renaissance, Architektur der Gotik (und der klassischen Moderne), pipapo. Das war spannend. Ich hätte noch Jahre studieren können, nur fehlte irgendwie das Geld dazu... Eigentlich wollte ich auch nur wissen, wie die Leute in andern Fächern so "ticken". Deswegen auch die Eingangsbemerkung "guter Arzt". In der Anatomievorlesung waren in meiner näheren Umgebung vorwiegend "Lerner", die Unmengen Stoff in sich reinfressen konnten, viel mehr als ich - aber die sonst keine Interessen zu haben schienen. Ich hoffe sehr und nehme auch an, dass ich ihnen damit Unrecht tue.
Das klingt bestimmt alles viel zu wichtig. Ich habe dabei vor allem gelernt, das das Land des Wissens riesengroß ist und ich es niemals ganz bereisen kann, was schade ist: es gäbe soviele Wunder zu entdecken. Im wesentlichen habe ich aber Descartes verstanden mit seinem cogito ergo sum, und viel mehr noch Sokrates, der mit seinem berühmtesten Zitat meist auf Latein wiedergegeben wird - scio ut nescio, ich weiß, dass ich nichts weiß.
Wenn Du also noch Mathematik studieren willst, tu es, aber schau Dir das Studium vorher ein bisschen an. Es ist ganz anders als die Rechnerei in den Ingenieurwissenschaften (so hochentwickelt wie sie sein mag, z.B. in Deinem Fach), viel mehr Beweise, viel abstrakter (ja, es geht noch abstrakter als komplexe Integrale etc.), aber auch viel "sauberer".
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:33 Sa 23.07.2011 | | Autor: | lzaman |
> Das klingt bestimmt alles viel zu wichtig. Ich habe dabei
> vor allem gelernt, das das Land des Wissens riesengroß ist
> und ich es niemals ganz bereisen kann, was schade ist: es
> gäbe soviele Wunder zu entdecken.
Diese Aussage hätte von mir stammen können.
Nun ja, da ich eine Ausbildung als Informationselektroniker in der Tasche habe und einen Technikerbrief besitze, entschloß ich mich noch E-Technik zu studieren. Am Anfang schien mir alles zu komplex, aber wenn man sich mal hinsetzt und alles durchrechnet, kommt auch vieles aus der Schulmathematik wieder hoch. Ich kann jedem Studenten, der verzweifelt, nur raten:
"Nichts wird so heiß gegessen, wie es gekocht wird!"
P.S: Das hat aber auch nichts mehr mit der Aufgabe zu tun, also
Gute Nacht!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Reverend,
> Hallo Izaman,
>
> > Hi Ihr beiden, ich finde eure Diskussion gar nicht mal so
> > schlecht.
>
> Ich finde sie sogar sehr instruktiv.
> Konstruktiv sowieso.
>
> > Ich will euch mal zeigen, wie eine Musterlösung zu dieser
> > Aufgabe bei den Ingenieuren ausschauen mag:
>
> Tja, ich denke immer öfter, dass das genau der Grund war,
> warum ich mal nach 6 Semestern ein Ingenieurstudium
> abgebrochen habe. Ich wollte angewandte Mathematik, fand
> aber nur "Anwendung", Kochrezepte, Halbwissen. Das mag
> praktikabel sein und andere zufriedenstellen, für mich
> aber war es einfach nichts.
>
> Dass man ohne Integrationskonstante die volle Punktzahl
> bekommt, finde ich geradezu bedenklich.
ich fände es - wie gesagt - nur unter gewissen Gegebenheiten bedenklich. In "Äquivalenzklassennotation", oder wenn man bei [mm] $\int [/mm] f(x)dx=F(x)$ rechterhand irgendeine Stammfunktion hinschreiben darf, ist's ja nicht verkehrt.
(Strenggenommen doch: Denn dann sollte da stehen
[mm] $$\int [/mm] f(x)dx=F$$
mit der Funktion $F: ... [mm] \to [/mm] ...$ definiert durch $F(x):=...$ für alle [mm] $x\,.$ [/mm] Manchmal findet man in der Literatur auchsowas:
[mm] $$\int f(x)dx=\pmat{F: .. \to ...\\F(x):=...}\,.$$
[/mm]
Aber gerade diese Notation, obwohl sie sehr sauber ist, hatte mich zu Beginn des Studiums mehr verwirrt als [mm] $\int f(x)dx=F(x)\,,$ [/mm] was ich noch aus der Schule kannte und zu interpretieren wußte. Aber wie sagte ein Kumpel von mir: "Am besten sollte man erstmal 4 Semester Mathe/Informatik studieren, um die Notationen zu kapieren (warum man da nun so penibel drauf achtet) und danach einfach nochmal von vorne anfangen. Dann kapiert man erst wirklich, was und warum da was so gemacht wird." )
Allerdings hat Al da durchaus ein Argument geliefert, warum das "gefährlich" sein kann. Das ist aber so ähnlich wie die Notation [mm] $i=\sqrt{-1}$...
[/mm]
> In den
> Ingenieurswissenschaften kommt mir die Verwendung des
> Gleichheitszeichen meist vor, als bedeute es "ist im
> praktischen Gebrauch ziemlich genau das gleiche wie".
Mir fällt das immer wieder auf, dass in der Physik und in den Ingenieurwissenschaften das tatsächlich oft auch so gemeint ist. Und dennoch sind die Theorien bzw. Entwicklungen dort ja kein Nonsens. Ich finde es immer wieder gut, wenn sich dann ein Mathematiker damit befasst, und das ganze so auseinandernimmt, dass es in einer mathematisch klaren Sprache ist - ohne dass man sich immer fragen muss: "In welchem Sinne meint der Physiker das denn jetzt wieder?"
Aber witzigerweise, da bin ich mir ziemlich sicher, sind trotz einer manchmal unsauberen Notation, viele mathematische Theorien und Ideen "aus der Physik heraus" (weiter-) entwickelt worden. Die Physiker haben dann das ganze etwas "lasch" behandelt, und die Mathematiker haben sich das angeguckt und genau auseinandergebröselt, wann man das eigentlich nur machen darf. Und so kann eine Theorie sich halt immer weiterentwickeln. Das ist jedenfalls so mein Eindruck.
> Mein Lieblings-T-Shirt für Physiker trägt die Aufschrift
> "2*2=5".
> Darunter steht ganz klein "...für besonders große Werte
> von 2".
Hehe.
> Maschinenbauer würden da noch einen Sicherheitsfaktor von
> mindestens 1,8 dranmultiplizieren, Bauingenieure würden es
> mit ein paar Schnittgrößen versehen (und eine DIN-Norm
> angeben), und Elektrotechniker hätten die Gleichung
> sowieso komplex angegeben.
>
>
> Grüße
> reverend
>
Sehr schön.
Grüße zurück,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:15 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> Hallo Marcel,
>
> du hast dich ja recht ins Zeug gelegt für eine Reaktion
> auf meine recht kurze Bemerkung ...
ja sorry. Das ist so 'n Prozess/Zwang bei mir: Ich will eigentlich nur kurz antworten, aber dann fällt mir soviel ein, dass es ein wenig ausartet, so dass anstelle von 1, 2 Sätzen dann 1,2 Seiten entstehen ^^
> > P.S.:
> > Strenggenommen müßtest Du dann übrigens auch schon
> > drauf achten, dass Du nicht "von der Funktion [mm]f(x)\,[/mm]"
> > sprichst, sondern von der Funktion [mm]f\,.[/mm] (Insbesondere
> > gehören dann Definitionsbereich, Wertebereich (und ggf.
> > Abbildungsvorschrift) ja auch dazu.)
>
> Diesen Ratschlag musst du bestimmt nicht an mich richten
> ...
> (es kann zwar sein, dass ich mal auf solchen "Slang" wie
> etwa "die Funktion f(x)" oder "die Funktion [mm]y=x^2[/mm] "
> eingehe,
> ohne die damit verbundenen formalen Fehler zu beanstanden)
Das meinte ich, als ich sagte, dass Dir das meiste, was ich schreibe, eh klar ist. Ich wollte es nur nochmal hervorherben. Es war keine Kritik an Dich, denn ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie Dein "Schreibstil" generell ist. Ich kann mich aber an nichts erinnern, wo ich sage: "Oha, was hat denn der Al da geschrieben..."
> > Also manches in der Mathematik wird manchmal doch nicht
> > "sauber" notiert, auch wenn das möglich ist; der Grund
> > ist, dass die Kurznotationen dann doch klar sind und man
> > mit weniger Notation dennoch den Informationsgehalt
> > transportiert - sozusagen "auf's wesentliche beschränkt
> > darstellt".
>
> Oft wird ja gerade im Mathematikunterricht der Eindruck
> erweckt und transportiert, wirklich mathematisch sei nur
> das, was in einer möglichst knappen Formel oder
> Gleichung
> daherkommt. Dass gerade etwa in einem Beweis ein
> erläuternder Text aber ganz wesentlich und hilfreich sein
> kann, wird dabei oft übersehen. Und wenn mir jemand auf
> die Frage, was der Satz des Pythagoras besage, antwortet:
> " [mm]a^2+b^2=c^2[/mm] " , dann wird mir übel.
Verstehe ich. Denn eigentlich steht da so nur eine Gleichung ohne jeglichen Inhalt. (Was ist denn [mm] $a\,$?...) [/mm]
> Den "Zwang zur Kürze", bei dem oft das Wichtigste
> einfach
> unter den Tisch fällt, finde ich für die Vermittlung von
> mathematischem Denken ziemlich schädlich.
Ja und nein. Wenn man zu stark kürzt, versteht man, wie Du oben andeutest, evtl. gar nicht mehr, um was es eigentlich geht bzw. was denn die eigentliche mathematische Information ist, die man erhält (bzw. es ist unklar, was man eigentlich macht, um zu einer Information zu gelangen).
Wenn man allerdings zuviel Nebeninformationen mittransportiert, verliert man genauso den Überblick, weil man sich so stark auf unwesentliches konzentriert, so dass die eigentliche Aufgabe nicht mehr zu erkennen ist.
Ein gesundes Mittelmaß ist, meiner Meinung nach, auch nicht immer ganz leicht zu finden. Zumal es auch ein wenig subjektiv und damit individuell ist. (Oben haben wir ja das beste Bsp.: Ich finde es gut, mit Äquivalenzklassen von Stammfunktionen zu arbeiten, Du mit einer "allgemeinen Darstellung" von Repräsentanten dieser.)
Und das von Dir gesagte ist genau der Punkt: Natürlich sind kurze, knappe Formeln gut und schön. Aber nur, wenn zudem Informationen sozusagen "über deren Bedeutung" mitgegeben werden.
In jedem Mathematikbuch findet man deshalb ja nicht nur einfach ein paar Formeln, Beweis etc., sondern oft auch Bemerkungen/Anmerkungen und dann auch Beispiele.
Achja: Mein Prof. hatte z.B. [mm] $(x^7)'=7x^6$ [/mm] als Notation benutzt, und dann aber zusätzlich erläutert, was denn da eigentlich steht: [mm] "$(x^7)'$ [/mm] ist nicht die Auswertung von [mm] $f(t)=t^7$ [/mm] an der Stelle [mm] $t=x\,$ [/mm] und dann abgeleitet (das macht ja gar keinen Sinn!), sondern es steht für die Ableitung von [mm] $f(t)=t^7$ [/mm] an der Stelle [mm] $t=x\,.$"
[/mm]
Oder sowas in der Art. Ich gebe aber zu, dass ich ab und an, gerade bei Schülern, durchaus auch mal schnell sowas wie [mm] $(x^8)'$ [/mm] schreibe...
Ich erläutere dann aber, wie das zu lesen ist und mache meinen Gegenübern klar,warum das eigentlich eine unsaubere Notation ist...
Nur, weil ich es ja oben mal angesprochen hatte.
(P.S.: Bei "der Funktion [mm] $\sin(x)$" [/mm] schreibe ich aber eh ein wenig sauberer [mm] $\sin'(x)=\cos(x)$ [/mm] anstatt [mm] $(\sin(x))'=\cos(x)$ [/mm] wie manch' andere. Das kommt dann automatisch wegen "Klammerfaulheit" meinerseits. ^^)
Gruß,
Marcel
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> Das finde ich unnötig. Dann fände ich's besser, kurz eine
> Kleine Randnotiz zu machen:
> "Für alle reellen [mm]x\,[/mm] gilt
[mm]\cos(x) \ge -1 \Rightarrow \cos(x)+1 \ge 0 \Rightarrow \cos(x)+x^2+1 \ge 1 > 0\,.[/mm]"
Hallo Marcel,
die zweite Implikation steht auf tönernen Füßen.
Hätten wir an der Stelle von [mm] $\cos$ [/mm] eine beliebige
Funktion $f$, so dürfte man aus [mm] f(x)+1\ge0 [/mm] natürlich
nicht auf [mm] f(x)+x^2+1\ge1 [/mm] schließen ...
Im vorliegenden Fall ist allerdings wegen [mm] cos(x)\ge1-\frac{x^2}{2}
[/mm]
(für alle [mm] x\in\IR) [/mm] sogar [mm] \cos(x)+x^2+1 \ge2 [/mm] (für alle [mm] x\in\IR).
[/mm]
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:06 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > Das finde ich unnötig. Dann fände ich's besser, kurz eine
> > Kleine Randnotiz zu machen:
> > "Für alle reellen [mm]x\,[/mm] gilt
>
> [mm]\cos(x) \ge -1 \Rightarrow \cos(x)+1 \ge 0 \Rightarrow \cos(x)+x^2+1 \ge 1 > 0\,.[/mm]"
>
>
> Hallo Marcel,
>
> die zweite Implikation steht auf tönernen Füßen.
> Hätten wir an der Stelle von [mm]\cos[/mm] eine beliebige
> Funktion [mm]f[/mm], so dürfte man aus [mm]f(x)+1\ge0[/mm] natürlich
> nicht auf [mm]f(x)+x^2+1\ge1[/mm] schließen ...
> Im vorliegenden Fall ist allerdings wegen
> [mm]cos(x)\ge1-\frac{x^2}{2}[/mm]
> (für alle [mm]x\in\IR)[/mm] sogar [mm]\cos(x)+x^2+1 \ge2[/mm] (für alle
> [mm]x\in\IR).[/mm]
>
> LG Al
ja stimmt. Ich wollte eigentlich auch nur sagen, dass für alle reellen [mm] $x\,$ [/mm] gilt
[mm] $$\cos(x) \ge [/mm] -1 [mm] \Rightarrow \cos(x)+1 \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow \cos(x)+x^2+1 \ge 0\,.$$
[/mm]
War "geschludert" von mir, da hast Du Recht. Ich werd's korrigieren. Danke für's aufmerksame Lesen.
Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
nur mal nebenbei, vielleicht für den ein oder anderen Leser hier interessant (das, was ich jetzt schreibe, ist also eigentlich sogar weniger an Dich gerichtet als an andere interessierte Mitleser - Du kannst es aber gerne kontrolllesen und kommentieren; nicht, dass ich hier Nonsens verzapfe ):
Man kann sich ja auch einfach mal
$$x [mm] \mapsto \cos(x)+x^2+1$$
[/mm]
(als Funktion [mm] $\IR \to \IR$) [/mm] angucken. Die Ableitung ist
$$x [mm] \mapsto 2x-\sin(x)$$
[/mm]
und damit sieht man, dass diese
[mm] $\bullet$ [/mm] an [mm] $x_0=0$ [/mm] ein lokales / sogar globales Minimum hat (die folgenden beiden Punkte kann man auch mitbenutzen, um dies einzusehen!)
[mm] $\bullet$ [/mm] auf [mm] $[0,\infty)$ [/mm] streng monoton wachsend ist
[mm] $\bullet$ [/mm] auf [mm] $(-\infty,0]$ [/mm] streng monoton fällt
Auch dadurch gelangt man schnell zur Erkenntnis [mm] $x^2+\cos(x)+1 \ge 0^2+\cos(0)+1=2 [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] für alle rellen [mm] $x\,.$ [/mm] Insbesondere sieht man auch, dass [mm] $2\,$ [/mm] die größte untere Schranke für $x [mm] \mapsto x^2+\cos(x)+1$ [/mm] als Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] ist.
Ich ergänze dies deshalb, weil man, sofern man in der Schule genug Kenntnisse erarbeitet hat, sich das eigentlich alleine durch Schulwissen überlegen kann.
P.S.:
Natürlich will ich damit nicht rechtfertigen, dass meine Folgerungskette, die da zuerst Stand, so berechtigt war. Dein Einwand bleibt nach wie vor richtig.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Fr 22.07.2011 | | Autor: | lzaman |
Volkommen richtig! Das formale sollte man beachten:
> [mm][/mm]Stammfunktion zu
>
> [mm]\int \bruch{sinx-2x}{cos(x)+x^2+1} \ dx[/mm]
>
> gesucht.
>
>
>
> Guten Abend alle,
>
> Empfiehlt es sich hier die Substitution mit [mm]u=cos(x)+x^2+1[/mm]
> durchzuführen?
>
> Demnach ist [mm]u'=(-sin(x))+2x[/mm] und
> [mm]dx=\bruch{du}{(-sin(x))+2x}=-1 \ \bruch{du}{sin(x)-2x}[/mm]
>
> Also [mm]\int \bruch{sinx-2x}{u} \ (-1) \ \bruch{du}{sin(x)-2x}=-\int \bruch{1}{u} \ {\color{Red}du}=-ln{\color{Red}|u|} {\color{Red}+C} [/mm]
>
> Rücksubstitution ergibt:
>
> [mm]\int \bruch{sinx-2x}{cos(x)+x^2+1} \ dx=- \ ln \ {\color{red}|}cos(x)+x^2+1{\color{red}|}{\color{red}+C}[/mm]
>
> ist das alles korrekt oder habe ich gegen Regeln
> verstoßen?
>
> Danke für die Überprüfung.
>
Eine Frage noch:
Würdet Ihr das ebenfalls auf diese Art lösen, oder gehts noch eleganter?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 Fr 22.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Wie definiert du elgant ?
Deine Lösung wird mit Sicherheit die Musterlösung sein.
Ob es die eleganteste ist, liegt im Auge des betrachters ;)
MfG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:02 Fr 22.07.2011 | | Autor: | lzaman |
Danke vielmals, nur das wollte ich hören.
Schönen rechnerischen Abend noch!
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