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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Hanz |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f mit der angegebenen Substitution. (Lambacher Schweizer S.247/9b)) |
b) f(x)= [mm] \wurzel{1+x^2}; [/mm] x= [mm] \bruch{1}{2}*(e^t-e^{-t})
[/mm]
Wie muss ich hier nun vorgehen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hanz!
Ist das auch die richtige Funktion und sie soll nicht eher heißen: $f(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+x^2 \ }}$ [/mm] ??
Zu dieser genannten Substitution sollte man noch etwas erwähnen.
Diese Funktion $y \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(e^t-e^{-t}\right)$ [/mm] wird auch abgekürzt als [mm] $\sinh(t)$ [/mm] "![[]](/images/popup.gif) sinus hyperbolicusEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
", dessen Ableitung lautet: $\left[ \ \sinh(t) \ \right]' \ = \ \cosh(t) \ = \ \bruch{1}{2}*\left(e^t+e^{-t}\right)$ .
Zudem gilt für alle $t \ \in \ \IR$ : $\cosh^2(t) - \sinh^2(t) \ = \ 1$ $\gdw$ $1+\sinh^2(t) \ = \ \cosh^2(t)$
Bei dem Integral $\integral{\wurzel{1+x^2} \ dx}$ müssen wir nun nicht nur die Variable $x_$ ersetzen, sondern auch das Differential $dx_$ durch die neue Variable $dt_$ ersetzen:
$x' \ = \ \bruch{dx}{dt} \ = \ \cosh(t)$ $\gdw$ $dx \ = \ \cosh(t)*dt$
$\Rightarrow$ $\integral{\wurzel{1+\blue{x}^2} \ \red{dx}} \ = \ \integral{\wurzel{1+\left[\blue{\sinh(t)}\right]^2} \ * \ \red{\cosh(t)*dt}} \ = \ \integral{\wurzel{\cosh^2(t)}} \ * \ \red{\cosh(t)*dt}} \ = \ \integral{\cosh(t) * \cosh(t) \ dt}$
Nun z.B. weiter mit partieller Integration ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Hanz |
Erstmal danke Loddar, aber meine Aufgabe habe ich richtig abgeschrieben.
Aber das was du geschrieben hast 1/Wurzel(1+x²) ist gleich die nächste Aufgabe ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Di 30.05.2006 | | Autor: | Hanz |
Also, ich hab's versucht mit partieller Integration fertig zu stellen...
[mm] \integral_{a}^{b}{cosh(t)*cosh(t) dt} [/mm] |u(x)=cosh(t) => u'=sinh(t)
v'(x)=cosh(t) => v(x)=sinh(t)
[mm] =>[cosh(t)*sinh(t)]-\integral_{a}^{b}{sinh(t)*sinh(t) dt} [/mm] |u=sinh(t) =>u'= cosh(t) und v'(x)=sinh(t) => v(x)=cosh(t)
[cosh(t)*sinh(t)]-[sinh(t)*cosh(t)]
Das kann aber irgendwie net sein ;S
Zusatzfrage: Wie sieht es bei der Aufgabe f(x)= [mm] \bruch{1}{ \wurzel{1+x^2}} [/mm] mit der selben Substitution aus? Auch irgendwelche tricks die man kennen muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Di 30.05.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Hans,
für [mm] $sinh^2$ [/mm] kannst Du [mm] $cosh^2 [/mm] -1$ schreiben. Dann das Integral zerlegen und auf die linke Seite bringen, alles durch 2 teilen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Di 30.05.2006 | | Autor: | Hanz |
Auf welche sinh²(t) beziehst Du dich und was meinste mit auf die linke seite bringen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Di 30.05.2006 | | Autor: | chrisno |
> Also, ich hab's versucht mit partieller Integration fertig
> zu stellen...
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{cosh(t)*cosh(t) dt}[/mm] |u(x)=cosh(t) =>
> u'=sinh(t)
>
> v'(x)=cosh(t) => v(x)=sinh(t)
>
> [mm]=>[cosh(t)*sinh(t)]-\integral_{a}^{b}{sinh(t)*sinh(t) dt}[/mm]
da steht doch ganz hinten [mm] sinh^2
[/mm]
das ersetzen wie angegeben. Dann steht da das Orginalintegral schon wieder. Das ist aber nicht schlimm, denn Du kannst auf beiden Seiten dieses Integral addieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Mi 31.05.2006 | | Autor: | chrisno |
> Zusatzfrage: Wie sieht es bei der Aufgabe f(x)= [mm]\bruch{1}{ \wurzel{1+x^2}}[/mm]
> mit der selben Substitution aus? Auch irgendwelche tricks
> die man kennen muss?
Genau die gleiche Substiution. Das geht aber viel einfacher. Du musst nur noch das Integral über 1 dt lösen können.
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