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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Toni908 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Integrale mit Hilfe der Substitutionsregel:
[mm] a)\integral_{}^{}{\bruch{3x²+1}{\wurzel{x³+x+1}} dx}
[/mm]
[mm] b)\integral_{0}^{\pi}{sinx cos^{3}x dx}
[/mm]
[mm] c)\integral_{}^{}{x e^{-(\bruch{1}{2})x²} dx}
[/mm]
[mm] d)\integral_{0}^{1}{\bruch{dx}{\wurzel{1+e^{x}}}}
[/mm]
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Hallo,
ich hab hier mal versucht anzufangen. Mir würde ein Beispiel weiter helfen. Die restlichen versuche ich dann alleine zu lösen.
a) [mm] u=(x^{3}+x+1)^{1/2}
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=\bruch{1}{2}(x³+x+1)^{-\bruch{1}{2}}(3x²+1)=u'(x)
[/mm]
[mm] dx=\bruch{du}{\bruch{1}{2}(x³+x+1)^{-\bruch{1}{2}} (3x²+1)}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{3x²+1}{\wurzel{x³+x+1}} \bruch{1}{2}(x³+x+1)^{-\bruch{1}{2}} (3x²+1)}
[/mm]
hab ich das bis hierher richtig gemacht?
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a) [mm] u=(x^{3}+x+1)^{1/2} [/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=\bruch{1}{2}(x³+x+1)^{-\bruch{1}{2}}(3x²+1)=u'(x)
[/mm]
[mm] dx=\bruch{du}{\bruch{1}{2}(x³+x+1)^{-\bruch{1}{2}} (3x²+1)}
[/mm]
Soweit stimmt alles. Jetzt hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen, kann sein, dass du dich nur verschrieben hast. Du hast das du vergessen und der Rest muss noch in den Nenner. So:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{(3x²+1)du}{\bruch{1}{2}(x³+x+1)^{-\bruch{1}{2}} (3x²+1)\wurzel{x³+x+1}}}
[/mm]
[mm] =\integral{\bruch{2du}{(x³+x+1)^{-\frac{1}{2}} (x³+x+1)^\frac{1}{2}}}
[/mm]
Das im Nenner kürzt sich weg zu 1. (Denn [mm] a^\bruch{1}{2}a^{-\bruch{1}{2}}=a^{\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}}=a^0=1)
[/mm]
[mm] =2\integral{du}
[/mm]
=2u
Rücksubstitution [mm] u=(x^{3}+x+1)^{1/2}
[/mm]
[mm] =2*\sqrt{x^3+x+1}
[/mm]
Dann viel Spaß mit den restlichen Aufgaben. Das Schwierigste ist der Anfang, eine geeignete Substitution zu finden, der Rest ist dann einfach.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Blutorange |
Noch ein paar Hinweise. Substituiere
b) z=cos(x)
c) [mm] z=-\frac{x^2}{2}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:57 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Blutorange |
und für d) klappt [mm] z=\sqrt{1+e^x} [/mm] recht gut, musst dann aber noch nach x umstellen, um übriggebliebene x durch z zu ersetzen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Toni908 |
Hallo,
b)
[mm] \integral_{0}^{\pi}{sinx cos³x dx}
[/mm]
u=cos(x) u'=sinx [mm] dx=\bruch{du}{sinx}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\pi}{\bruch{3sinx cos³xdu}{sinx}}=\integral_{0}^{\pi}{cos³x du}
[/mm]
dann weis ich nicht ob ich hier richtig weiter gemacht habe
[mm] =1-cos³\pi
[/mm]
c)
da bin ich nicht wirklich weiter gekommen. Ich weis nicht einmal ob meine Ableitung richtig ist.
[mm] \bruch{du}{dx}=-\bruch{2x+3-x²}{4}
[/mm]
hier bräuchte ich noch hilfe.
d)
[mm] u=(1+e^{x})^{1/2} \bruch{du}{dx}=1/2(1+e^{x})^{-1/2}e^{x}
[/mm]
[mm] dx=\bruch{du}{1/2(1+e^{x})^{-1/2}e^{x}}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{dx}{\wurzel{1+e^{x}}}}
[/mm]
hier komme ich auch nicht weiter.
LG Toni
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b)
z=cos(x)
[mm] dx=-\frac{dz}du{sin(x)}
[/mm]
$ [mm] \integral{sin(x)cos^3(x) dx} [/mm] $
=-$ [mm] \integral{cos^3(x) dz} [/mm] $
[mm] =-\integral{z^3dz}
[/mm]
[mm] =-\frac{z^4}{4}
[/mm]
[mm] =-\frac{cos^4(x)}{4}
[/mm]
Dann noch Grenzen einsetzen und du erhälst: 1-1=0
c)
[mm] z=-\frac{x^2}{2}
[/mm]
[mm] $\frac{dz}{dx}=-2x \leftrightarrow dx=-\frac{dz}{x}$
$\integral{x*e^{-(\frac{1}{2})x²} dx}$
=\integral{-\frac{x}{x}*e^{z} dz}
=-\integral{e^{z} dz}
=-e^z
=-e^{-\frac{x^2}{2}}
d)
$ z=\sqrt{1+e^x} \leftrightarrow x=ln(z^2-1) $
dx=\frac{2\sqrt{1+e^x}dz}{e^x}
\integral{\frac{dx}{\wurzel{1+e^{x}}}}
=\integral{\frac{2\sqrt{1+e^x}dz}{e^x*\wurzel{1+e^{x}}}}
=2\integral{\frac{dz}{e^x}}
=2\integral{\frac{dz}{e^{ln(z^2-1)}}}
=2\integral{\frac{dz}{z^2-1}}
=2*\frac{1}{2}[\integral{\frac{1}{z-1}dz}-\integral{\frac{1}{z+1}dz}]
=$ln(|z-1|)-ln(|z+1|)$
=ln(|\sqrt{1+e^x}-1|)-ln(|\sqrt{1+e^x}+1|)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:51 So 27.04.2008 | | Autor: | Toni908 |
Hallo,
danke für deine Antwort.
bei aufgabe a hast du dich sicher verschrieben, das "u" müsste da doch weg.
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Gruß
