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| Aufgabe | Berechnen Sie:
[mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{2^n} [/mm] |
Hallo, Ich komme bei der AUfgabe nicht zu einen Lösungweg, da ich ja den wert der Summe ausrechnen soll.
Wie schaffe ich es die Reihe auf die Form einer geometrischen Reihe zu bringen?
Ich wäre dankbar für einen Tipp. Denn alleine komme ich auf keinen grünen Zweig.
LG
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Danke für die Links aber die Theorie ist soweit klar. Mir fehlt nur das Praktische ("die Umformung) zu der Aufgabe.
LG
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Hallo theresetom,
ich bin nicht so recht sicher, ob man das tatsächlich in eine geometrische Reiche umformen kann. Vielleicht hilft das Sandwichlemma weiter, vielleicht aber auch eine Anwendung der Rechenregeln für Summen. Hierbei erscheinen auf Anhieb ja nur zwei vielversprechend, nämlich die Doppelsumme oder das Aufspalten einer Summe (beide im gegebenen Link...).
So weit ich sehe, ist hier [mm] n^2=\summe_{i=1}^{n}(2n-1) [/mm] ganz hilfreich.
Das Ergebnis wird wohl, wie mir Excel (oder ein anderer numerischer Versuch) andeutet, 6 sein. Nur: wie kommt man darauf?
Vielleicht so:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^2}{2^n}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^2}{2^n}=\summe_{n=1}^{\infty}\summe_{i=1}^{n}\bruch{(2i-1)}{2^n}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2^n}\summe_{i=1}^{n}(2i-1)\red{=}\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{2j-1}{2^{j-1}}
[/mm]
Dabei ist das letzte, rote Gleichheitszeichen wahrscheinlich das eigentlich Interessante. Versuch mal, die Rechnung bis hier nachzuvollziehen.
Wie kämst Du dann von hier aus zum Schluss?
Grüße
reverend
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Hallo,
also ich hab nochmal nachgeschaut, ein Hinweis vom Tutor war: Geometrische Reihe und deren Ableitung.
Kann man damit vlt mehr anfangen?
Das rote Gleichheitszeichen ist mir leider ürberhaupt nicht klar. Kannst du mir das vlt. erklären?
Vielen dank
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:28 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Arbeite mal hiermit:
Es gilt [mm] \summe_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x} [/mm] für $|x|<1$. Leitet man beide Seiten ab, erhält man
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}. [/mm] Leite das nun noch einmal ab. Aus den ganzen Gleichung kannst du dann einen Ausdruck für die Summe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}n^2x^n [/mm] zusammenzubasteln. Dann kannst du [mm] x=\frac{1}{2} [/mm] setzen und bist fertig! Tipp: Es kommt eine natürliche Zahl heraus.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 Sa 26.05.2012 | | Autor: | theresetom |
danke ;)
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:13 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Helbig |
Sicher hattet Ihr schon das Wurzelkriterium, mit dessen Hilfe man recht leicht die Konvergenz der Reihe nachweisen kann.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:36 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Helbig |
Das Wurzelkriterium ist zwar einfacher, um die Konvergenz nachzuweisen, hilft aber überhaupt nicht, um den Reihenwert zu bestimmen. Erst jetzt merke ich, daß der Reihenwert zu ermitteln ist.
tut mir leid,
Wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:18 Sa 26.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Berechne zunächst das Cauchyprodukt [mm] \sum c_n [/mm] von
$ [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{2^n} [/mm] $ mit sich selbst.
Dann berechne das Cauchyprodukt von
$ [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{2^n} [/mm] $ und [mm] \sum c_n
[/mm]
FRED
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