Summe + Fakultät < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Di 04.01.2011 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Gesucht ist die Summe folgender Reihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *(2^{4n+1}*n*x^{2n}+x^{2n+1}+4^{2n}x^{2n}) [/mm] |
Hallo zusammen
Nun gehen wirs an:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *(2^{4n+1}*n*x^{2n}+x^{2n+1}+4^{2n}x^{2n})
[/mm]
Ausmultiplizieren
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *2^{4n+1}*n*x^{2n} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *x^{2n+1} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} [/mm] * [mm] 4^{2n}x^{2n})
[/mm]
wird zu
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *2^{4n+1}*n*x^{2n} [/mm]
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *x^{2n+1} [/mm] -> sin(x)
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} [/mm] * [mm] 4^{2n}x^{2n}) [/mm] Kann ich hier folgendes machen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} [/mm] * [mm] 4^{2n}x^{2n}) *\bruch{4x}{4x}
[/mm]
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} [/mm] * [mm] (4x)^{2n+1}) *\bruch{1}{4x}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4x} [/mm] * [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} [/mm] * [mm] (4x)^{2n+1}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4x} [/mm] * sin(4x) ist?
Jedenfalls mein Problemkind ist, wie ihr vielleicht schon gesehen habt, das hier:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *2^{4n+1}*n*x^{2n} [/mm]
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *2^{2n}*2^{2n}*2*n*x^{2n}
[/mm]
2* [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *2^{2n}*n*(2x)^{2n}
[/mm]
Hier komme ich nicht mehr weiter. Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg oder habe ich etwas übersehen? Denn mein alternativer Weg wäre folgender:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *(2^{4n+1}*n*x^{2n}+ 4^{2n}x^{2n})) [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *x^{2n+1} [/mm]
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *x^{2n+1} [/mm] = sin(x)
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *(2^{4n+1}*n+ 4^{2n}))*x^{2n}
[/mm]
Nur bringt mich dieser Weg wieder auf diesen Problemkern mit [mm] (2^{4n+1}*n+ 4^{2n}) [/mm] wo ich mir nicht zu helfen weis...
Ich bitte um eine Rat!
Danke
lg
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> Gesucht ist die Summe folgender Reihe:
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> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *(2^{4n+1}*n*x^{2n}+x^{2n+1}+4^{2n}x^{2n})[/mm]
>
> Hallo zusammen
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> Nun gehen wirs an:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *(2^{4n+1}*n*x^{2n}+x^{2n+1}+4^{2n}x^{2n})[/mm]
>
>
> Ausmultiplizieren
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *2^{4n+1}*n*x^{2n}[/mm]
> + [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *x^{2n+1}[/mm] +
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}[/mm] *
> [mm]4^{2n}x^{2n})[/mm]
>
> wird zu
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *2^{4n+1}*n*x^{2n}[/mm]
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *x^{2n+1}[/mm] ->
> sin(x)
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}[/mm] *
> [mm]4^{2n}x^{2n})[/mm] Kann ich hier folgendes machen:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}[/mm] *
> [mm]4^{2n}x^{2n}) *\bruch{4x}{4x}[/mm]
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}[/mm]
> * [mm](4x)^{2n+1}) *\bruch{1}{4x}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{4x}[/mm] *
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}[/mm] *
> [mm](4x)^{2n+1})[/mm] = [mm]\bruch{1}{4x}[/mm] * sin(4x) ist?
>
> Jedenfalls mein Problemkind ist, wie ihr vielleicht schon
> gesehen habt, das hier:
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> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *2^{4n+1}*n*x^{2n}[/mm]
>
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *2^{2n}*2^{2n}*2*n*x^{2n}[/mm]
>
> 2* [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *2^{2n}*n*(2x)^{2n}[/mm]
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> Hier komme ich nicht mehr weiter. Bin ich überhaupt auf
> dem richtigen Weg oder habe ich etwas übersehen? Denn mein
> alternativer Weg wäre folgender:
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>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *(2^{4n+1}*n*x^{2n}+ 4^{2n}x^{2n}))[/mm]
> + [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *x^{2n+1}[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *x^{2n+1}[/mm] =
> sin(x)
>
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> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *(2^{4n+1}*n+ 4^{2n}))*x^{2n}[/mm]
>
> Nur bringt mich dieser Weg wieder auf diesen Problemkern
> mit [mm](2^{4n+1}*n+ 4^{2n})[/mm] wo ich mir nicht zu helfen
> weis...
Das ist nicht so schwer, wie es hier bei dir aussieht, denn:
[mm] $2^{4n+1} [/mm] = 2* [mm] 2^{4n} [/mm] = [mm] 2*2^{2*2n} [/mm] = [mm] 2*(2^{2})^{2n} [/mm] = [mm] 2*4^{2n}$
[/mm]
Also steht da: [mm] $(2n+1)*x^{2n}$
[/mm]
Die Klammer kannst du dann mit der Fakultät kürzen und dann siehst du es bestimmt 
>
> Ich bitte um eine Rat!
>
> Danke
> lg
lg weightgainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Di 04.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
weil ich nicht weiß, ob's hier hilft:
Wenn ich derartiges sehe:
> Gesucht ist die Summe folgender Reihe:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *(2^{4n+1}*n*x^{2n}+x^{2n+1}+4^{2n}x^{2n})[/mm]
>
> Hallo zusammen
>
> Nun gehen wirs an:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *(2^{4n+1}*n*x^{2n}+x^{2n+1}+4^{2n}x^{2n})[/mm]
>
>
> Ausmultiplizieren
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *2^{4n+1}*n*x^{2n}[/mm]
> + [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *x^{2n+1}[/mm] +
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}[/mm] *
> [mm]4^{2n}x^{2n})[/mm]
>
> wird zu
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *2^{4n+1}*n*x^{2n}[/mm]
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *x^{2n+1}[/mm] ->
> sin(x)
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}[/mm] *
> [mm]4^{2n}x^{2n})[/mm] Kann ich hier folgendes machen:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}[/mm] *
> [mm]4^{2n}x^{2n}) *\bruch{4x}{4x}[/mm]
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}[/mm]
> * [mm](4x)^{2n+1}) *\bruch{1}{4x}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{4x}[/mm] *
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}[/mm] *
> [mm](4x)^{2n+1})[/mm] = [mm]\bruch{1}{4x}[/mm] * sin(4x) ist?
>
> Jedenfalls mein Problemkind ist, wie ihr vielleicht schon
> gesehen habt, das hier:
>
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} *2^{4n+1}*n*x^{2n}[/mm]
also Dein Problemkind, dann denke ich automatisch an drei Sachen, die helfen könnten:
1. Wenn ich die Konvergenz einer Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n$ [/mm] weiß und deren Grenzwert und zudem die Konvergenz und den Grenzwert einer anderen, speziellen Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_{n_k}\,,$ [/mm] wobei [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] eine Teilfolge von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] ist, dann kann ich doch
[mm] $$\Sigma_{i \in I}a_i=\sum_{n=0}^\infty a_n -\sum_{k=0}^\infty a_{n_k}$$
[/mm]
berechnen, wobei [mm] $I:=\IN_0 \setminus \{n_k: k \in \IN_0\}$ [/mm] und [mm] $\Sigma_{i \in I}a_i$ [/mm] hier bedeutet, dass die Teilsummenfolge entsprechend "der durch [mm] $I\,$ [/mm] gegebenen Teilfolge" zu bilden ist.
2. Ich suche mal, ob nicht irgendwie das Cauchyprodukt hier verwendet werden kann.
3. Ich schaue, ob nicht irgendwo die Ableitung oder eine Stammfunktion einer Potenzfunktion auftaucht.
Das sind jedenfalls "Standardstichworte" für eine derartige Reihe. Zu guter letzt kann man auch mal in der Fourieranalysis ein wenig nachschlagen. Aber das braucht man hier vermutlich noch nicht...
Gruß,
Marcel
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