Summe: Dreiecksungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie:
Es gilt die folgende Dreiecksungleichung für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] und [mm] $x_{i} \in \IR$ [/mm] für alle $i [mm] \in \{1,...,n\}$:
[/mm]
[mm] $\left|\summe_{i=1}^{n}x_{i}\right|\le\summe_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|$ [/mm] |
Hallo,
es wird zwar nicht angegeben, wie die Dreiecksungleichung bewiesen werden soll, mein Gefühl sagt mir aber, dass der Beweis über vollständige Induktion erfolgen soll.
Induktionsanfang n=1: [mm] $\left|\summe_{i=1}^{1}x_{1}\right|\le\summe_{i=1}^{1}\left|x_{1}\right|$
[/mm]
Mein Problem:
Das [mm] $x_{1}$ [/mm] ist eine Variable für eine beliebige, nicht konkrete reelle Zahl und woher soll ich dann wissen, dass der Ausdruck im Induktionsanfang richtig ist?
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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Hallo el_grecco,
> Zeigen Sie:
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> Es gilt die folgende Dreiecksungleichung für jedes [mm]n \in \IN[/mm]
> und [mm]x_{i} \in \IR[/mm] für alle [mm]i \in \{1,...,n\}[/mm]:
>
> [mm]\left|\summe_{i=1}^{n}x_{i}\right|\le\summe_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|[/mm]
> Hallo,
>
> es wird zwar nicht angegeben, wie die Dreiecksungleichung
> bewiesen werden soll, mein Gefühl sagt mir aber, dass der
> Beweis über vollständige Induktion erfolgen soll.
>
> Induktionsanfang n=1:
> [mm]\left|\summe_{i=1}^{1}x_{\red{1}}\right|\le\summe_{i=1}^{1}\left|x_{\red{1}}\right|[/mm]
Nana, da muss doch der Laufindex [mm]\red{i}[/mm] stehen!
>
> Mein Problem:
> Das [mm]x_{1}[/mm] ist eine Variable für eine beliebige, nicht
> konkrete reelle Zahl und woher soll ich dann wissen, dass
> der Ausdruck im Induktionsanfang richtig ist?
Na, was steht denn da linkerhand ausgeschrieben?
[mm]\left|\sum\limits_{i=1}^1x_i\right|=\left|x_1\right|[/mm] denn es gibt nur einen Summanden, nämlich den für [mm]i=1[/mm].
Dieser ist [mm]x_1[/mm]
Und das ist [mm]=\sum\limits_{i=1}^1|x_i|[/mm], also auch [mm]\le[/mm]
>
>
> Vielen Dank.
>
> Gruß
> el_grecco
Gruß
schachuzipus
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| Aufgabe | Zeigen Sie:
Es gilt die folgende Dreiecksungleichung für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] und [mm] $x_{i} \in \IR$ [/mm] für alle $i [mm] \in \{1,...,n\}$:
[/mm]
[mm] $\left|\summe_{i=1}^{n}x_{i}\right|\le\summe_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|$ [/mm] |
Vielen Dank, schachuzipus. 
Induktionsanfang n=1: [mm] $\left|\summe_{i=1}^{1}x_{i}\right|=\left|x_{1}\right|\le\left|x_{1}\right|=\summe_{i=1}^{1}\left|x_{i}\right|$
[/mm]
Induktionsschritt: $n [mm] \to [/mm] n+1$
Induktionsvoraussetzung: Für ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] gelte:
[mm] $\left|\summe_{i=1}^{n}x_{i}\right|\le\summe_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|$
[/mm]
Zu zeigen:
[mm] $\left|\summe_{i=1}^{n+1}x_{i}\right|=\left|x_{1}+...+x_{n+1}\right|\le\left|x_{1}+...+x_{n+1}\right|=\summe_{i=1}^{n+1}\left|x_{i}\right|$
[/mm]
Dann folgt:
[mm] $\left|\summe_{i=1}^{n+1}x_{i}\right|=\left|\summe_{i=1}^{n}x_{i}\right|+\left|x_{1}+...+x_{n+1}\right|...$
[/mm]
Wenn das soweit stimmt, wie wäre dann der nächste Schritt?
Vielen Dank
&
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo el_grecco!
> Dann folgt: [mm]\left|\summe_{i=1}^{n+1}x_{i}\right|=\left|\summe_{i=1}^{n}x_{i}\right|+\left|x_{1}+...+x_{n+1}\right|...[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Es gilt doch:
[mm]\left|\summe_{i=1}^{n+1}x_{i}\right| \ = \ \left|\summe_{i=1}^{n}x_{i}+x_{n+1}\right|[/mm]
Wende nun zunächst die Dreiecksungleichung auf die beiden Terme [mm]\summe_{i=1}^{n}x_{i}[/mm] und [mm]x_{n+1}[/mm] an und anschließend die Induktionsvoraussetzung.
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | Zeigen Sie:
Es gilt die folgende Dreiecksungleichung für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] und [mm] $x_{i} \in \IR$ [/mm] für alle $i [mm] \in \{1,...,n\}$:
[/mm]
[mm] $\left|\summe_{i=1}^{n}x_{i}\right|\le\summe_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|$ [/mm] |
Hallo Loddar,
echt knorke von Dir!
Hoffe so stimmt es dann...
Dann folgt:
[mm] $\left|\summe_{i=1}^{n+1}x_{i}\right| [/mm] \ = [mm] \left|\summe_{i=1}^{n}x_{i}+x_{n+1}\right|=\left|x_{1}+...+x_{n+1}\right|\le\left|x_{1}+...+x_{n+1}\right|=\summe_{i=1}^{n}\left|x_{i}+x_{n+1}\right|=\summe_{i=1}^{n+1}\left|x_{i}\right|$
[/mm]
Gruß
el_grecco
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Hallo nochmal,
> Zeigen Sie:
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> Es gilt die folgende Dreiecksungleichung für jedes [mm]n \in \IN[/mm]
> und [mm]x_{i} \in \IR[/mm] für alle [mm]i \in \{1,...,n\}[/mm]:
>
> [mm]\left|\summe_{i=1}^{n}x_{i}\right|\le\summe_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|[/mm]
> Hallo Loddar,
> echt knorke von Dir!
>
> Hoffe so stimmt es dann...
>
> Dann folgt:
>
> [mm]\left|\summe_{i=1}^{n+1}x_{i}\right| \ = \left|\summe_{i=1}^{n}x_{i}+x_{n+1}\right|=\left|x_{1}+...+x_{n+1}\right|\le\left|x_{1}+...+x_{n+1}\right|=\summe_{i=1}^{n}\left|x_{i}+x_{n+1}\right|=\summe_{i=1}^{n+1}\left|x_{i}\right|[/mm]
Nein, das ist ziemlicher Quark
Ich schreib's mal ohne Summe in der Mitte, das scheint dich zu verwirren:
[mm]\left|\sum\limits_{i=1}^{n+1}x_i\right|=\left|\red{(x_1+x_2+\ldots+x_n)}+\blue{x_{n+1}}\right|[/mm]
Mit der Aussage für [mm]n=2[/mm] ist das [mm]\le \left|\red{x_1+x_2+\ldots+x_n}\right| \ + \ \left|\blue{x_{n+1}}\right|[/mm]
Nun wende auf die rote Summe die IV an ...
Dann kommst du auf eine Summe (mit n+1 Summanden) aus "Einzelbeträgen"
>
> Gruß
> el_grecco
>
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:31 Fr 03.12.2010 | | Autor: | el_grecco |
Vielen Dank schachuzipus!
Das falsche "Zu zeigen" war der Grund für meine Verständnisprobleme. Das "Zu zeigen" hatte ich nämlich in einem früheren Beitrag falsch und es wurde nicht beanstandet (ich mache dafür natürlich niemandem einen Vorwurf).
> Das ist eben nicht zu zeigen!!
>
> Vielmehr:
>
> [mm]\left|\sum\limits_{i=1}^{n+1}x_i\right|=|x_1+x_2+\ldots+x_{n+1}|\le\red{|}x_1\red{|}+\red{|}x_2\red{|}+\ldots+\red{|}x_{n+1}\red{|}=\sum\limits_{i=1}^{n+1}|x_i|[/mm]
>
Gruß
el_grecco
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