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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:54 Do 09.05.2013 | | Autor: | DjHighlife |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Formel:
[mm] $f_{3n}=f_{n+1}^3+f_n^3-f_{n-1}^3$ [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe vorher schon das hier bewiesen:
[mm] $f_{n+m}=f_{n-1}f_m+f_nf_{m+1}$
[/mm]
[mm] $f_{2n}=f_{n+1}^2-f_{n-1}^2$
[/mm]
Tipp ist, dass ich $m=2n$ wählen soll:
[mm] $f_{3n}=f_{n+2n}=f_{n-1}f_{2n}+f_nf_{2n+1}=f_{n-1}(f_{n+1}^2-f_{n-1}^2)+f_nf_{2n+1}=f_{n-1}f_{n+1}^2-f_{n-1}^3+f_nf_{2n+1}$
[/mm]
so, und jetzt komme ich nicht weiter. ich denke, dass ich das Letzte [mm] $f_{2n+1}$ [/mm] noch umformen muss, weis aber nicht wie.
Kann mir da jemand helfen?
Viele Grüße,
Michael
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 Do 09.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Michael,
> Beweisen Sie folgende Formel:
>
> [mm]f_{3n}=f_{n+1}^3+f_n^3-f_{n-1}^3[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich habe vorher schon das hier bewiesen:
>
> [mm]f_{n+m}=f_{n-1}f_m+f_nf_{m+1}[/mm]
> [mm]f_{2n}=f_{n+1}^2-f_{n-1}^2[/mm]
>
> Tipp ist, dass ich [mm]m=2n[/mm] wählen soll:
>
> [mm]f_{3n}=f_{n+2n}=f_{n-1}f_{2n}+f_nf_{2n+1}=f_{n-1}(f_{n+1}^2-f_{n-1}^2)+f_nf_{2n+1}=f_{n-1}f_{n+1}^2-f_{n-1}^3+f_nf_{2n+1}[/mm]
>
> so, und jetzt komme ich nicht weiter. ich denke, dass ich
> das Letzte [mm]f_{2n+1}[/mm] noch umformen muss, weis aber nicht
> wie.
ich hab' mir das - ehrlich gesagt - nicht wirklich angeguckt oder
nachgerechnet.
Aber manchmal hilft folgendes (was viele vergessen, obwohl es gerade
auch etwa bei Induktionsbeweisen interessant ist, wenn man nicht
weiterkommt):
Wenn man einen Term [mm] $T_1(x)$ [/mm] hat und zeigen soll, dass [mm] $T_1(x)=T_2(x)$ [/mm] gilt,
so rechnet man [mm] $T_1(x)-T_2(x)=0$ [/mm] nach, oder man zeigt:
[mm] $$T_1(x)=T_2(x) \iff [/mm] A$$
für eine wahre Aussage [mm] $A\,$ [/mm] (etwa [mm] $0=0\,$). [/mm] (Tatsächlich würde Dir hier
$A [mm] \Longrightarrow T_1(x)=T_2(x)$ [/mm] zum Beweis reichen; ich habe hier (klick!) vor kurzem
mal kurz was über's "Beweisen" zusammengeschrieben!)
Deswegen:
Wenn Du nun bei [mm] $...=f_{n-1}f_{n+1}^2-f_{n-1}^3+f_nf_{2n+1}$ [/mm] angekommen bist,
so willst Du ja zeigen, dass das mit
[mm] $$f_{n+1}^3+f_n^3-f_{n-1}^3$$
[/mm]
übereinstimmt.
Du müßtest nun also bei
[mm] $$f_{n-1}f_{n+1}^2-f_{n-1}^3+f_nf_{2n+1}\red{\;\stackrel{!}{=}\;}f_{n+1}^3+f_n^3-f_{n-1}^3$$
[/mm]
beweisen, dass das "soll übereinstimmen mit" - im Zeichen [mm] $\stackrel{!}{=}$ [/mm] - durch [mm] $=\,$ [/mm]
ersetzt werden darf. Eine Idee, wie man sowas nachrechnen kann, steht
oben!
Da das hier eher ein allgemeiner als ein konkreter Tipp ist, lasse ich die
Frage mal auf halb beantwortet stehen, denn eventuell braucht man ja
noch einen 'konkreten Trick'!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Sa 11.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
hattest Du meinen Vorschlag zu Ende gedacht?
$ [mm] f_{n-1}f_{n+1}^2-f_{n-1}^3+f_nf_{2n+1}\red{\;\stackrel{!}{=}\;}f_{n+1}^3+f_n^3-f_{n-1}^3 [/mm] $
reduziert sich dann ja darauf, zu zeigen, dass
$ [mm] f_{n-1}f_{n+1}^2+f_nf_{2n+1}=f_{n+1}^3+f_n^3$
[/mm]
gilt...
Gruß,
Marcel
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