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| Aufgabe | Untersuche die Reihe auf Konvergenz bzw. Divergenz.
[mm] \sum_{n=1}^\infty [/mm] n! [mm] *(1/n)^n [/mm] |
[mm] \sum_{n=1}^\infty [/mm] n! [mm] *(1/n)^n
[/mm]
Quotientenkriterium:
[mm] |\frac{(n+1)!*(\frac{1}{n+1})^{n+1}}{n!*(\frac{1}{n})^n}|= |\frac{(n+1)*n^n}{(n+1)^{n+1}} [/mm] |= [mm] |\frac{n^n}{(n+1)^n}|= (\frac{n}{(n+1)})^n
[/mm]
[mm] lim_{n->\infty} (\frac{n}{n+1})^n =\frac{lim_{n->\infty} n^n}{lim_{n->\infty}(n+1)^n}
[/mm]
Da weiß ich nicht wie ich den limes ausrechne
Wurzelkriterium
[mm] \sqrt{|n!*(1/n)^n|} [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{n!}}{n} [/mm]
Hier kann ich auch den limes nicht so recht bestimmen.
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Hallo theresetom,
die Reihen zur e-Funktion kennst Du doch, oder?
> Untersuche die Reihe auf Konvergenz bzw. Divergenz.
> [mm]\sum_{n=1}^\infty[/mm] n! [mm]*(1/n)^n[/mm]
> Quotientenkriterium:
> [mm]|\frac{(n+1)!*(\frac{1}{n+1})^{n+1}}{n!*(\frac{1}{n})^n}|= |\frac{(n+1)*n^n}{(n+1)^{n+1}}[/mm]
> |= [mm]|\frac{n^n}{(n+1)^n}|= (\frac{n}{(n+1)})^n[/mm]
[mm] =\left(1-\bruch{1}{n+1}\right)^n
[/mm]
Kommt Dir das bekannt vor?
> [mm]lim_{n->\infty} (\frac{n}{n+1})^n =\frac{lim_{n->\infty} n^n}{lim_{n->\infty}(n+1)^n}[/mm]
>
> Da weiß ich nicht wie ich den limes ausrechne
>
> Wurzelkriterium
> [mm]\sqrt{|n!*(1/n)^n|}[/mm] = [mm]\frac{\sqrt{n!}}{n}[/mm]
> Hier kann ich auch den limes nicht so recht bestimmen.
Wundert mich nicht.
Gute Nacht!
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:24 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo theresetom!
Bedenke, dass gilt: [mm]\left(\bruch{n}{n+1}\right)^n \ = \ \bruch{1}{\left(\bruch{n+1}{n}\right)^n} \ = \ \bruch{1}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}[/mm]
Hilft das weiter? Wie lautet hier der Grenzwert für [mm]n\rightarrow\infty[/mm] ? Ist das größer oder kleiner als 1?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 Sa 26.05.2012 | | Autor: | theresetom |
danke , also konvergent ;)
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