Summe abgeschlossener Fkt. < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:21 Mi 18.06.2008 | | Autor: | balisto |
| Aufgabe | Seien X normierter Raum und [mm] T_{j}: D(T_{j}) \subset [/mm] X [mm] \to [/mm] X (j=1,2) abgeschlossene Abbildungen.
Ist [mm] T_{1} [/mm] + [mm] T_{2} [/mm] : [mm] D(T_{1}) \cap D(T_{2}) \subset [/mm] X [mm] \to [/mm] X, x [mm] \mapsto T_{1}x [/mm] + [mm] T_{2}x [/mm] abgeschlossen? |
Hallo.
Also hier komm ich leider überhaupt nicht weiter. Ich würde intuitiv "nein" sagen, hab allerdings kein Gegenbeispiel gefunden.
Vielleicht lieg ich ja auch falsch, und die Summe ist abgeschlossen.
Könnte mir da vielleicht bitte einer weiterhelfen?
Vielen Dank schonmal!
MfG
balisto
P.S.: Eine Abbildung A : X [mm] \to [/mm] Y heißt abgeschlossen, wenn ihr Graph G(A) abgeschlossen in X [mm] \times [/mm] Y ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:15 Do 19.06.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien X normierter Raum und [mm]T_{j}: D(T_{j}) \subset[/mm] X [mm]\to[/mm] X
> (j=1,2) abgeschlossene Abbildungen.
> Ist [mm]T_{1}[/mm] + [mm]T_{2}[/mm] : [mm]D(T_{1}) \cap D(T_{2}) \subset[/mm] X [mm]\to[/mm]
> X, x [mm]\mapsto T_{1}x[/mm] + [mm]T_{2}x[/mm] abgeschlossen?
> Hallo.
> Also hier komm ich leider überhaupt nicht weiter. Ich
> würde intuitiv "nein" sagen, hab allerdings kein
> Gegenbeispiel gefunden.
> Vielleicht lieg ich ja auch falsch, und die Summe ist
> abgeschlossen.
> Könnte mir da vielleicht bitte einer weiterhelfen?
> Vielen Dank schonmal!
>
> MfG
> balisto
>
> P.S.: Eine Abbildung A : X [mm]\to[/mm] Y heißt abgeschlossen, wenn
> ihr Graph G(A) abgeschlossen in X [mm]\times[/mm] Y ist.
nimm' einfach eine Folge [mm] $(z_n)_{n \in \IN}=((x_n,y_n))_{n \in \IN}$ [/mm] in [mm] $G(T_1+T_2)$ [/mm] her mit [mm] $z_n=(x_n,y_n) \to z_0=(x_0,y_0) \in [/mm] X [mm] \times [/mm] X$ bei $n [mm] \to \infty$. [/mm]
Es ist dann zu prüfen, ob [mm] $z_0 \in G(T_1+T_2)$ [/mm] gilt, also, ob dann für [mm] $z_0=(x_0,y_0) \in [/mm] X [mm] \times [/mm] X$ auch gilt, dass [mm] $(x_0,y_0) \in G(T_1+T_2)$ [/mm] bzw. m.a.W., ob [mm] $x_0 \in D(T_1) \cap D(T_2)$ [/mm] gilt und zudem ob
[mm] $(T_1+T_2)\,x_0=T_1 \,x_0+T_2 \,x_0=y_0$
[/mm]
gilt.
Insbesondere beachte dabei, dass wegen [mm] $(x_n,y_n) \to (x_0,y_0)$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] hier auch
(I) [mm] $x_0=\lim_{n \to \infty}x_n$ [/mm] und
(II) [mm] $y_0=\lim_{n \to \infty}y_n$ [/mm] gelten muss.
Nun gilt für jedes $n$:
[mm] $z_n=(x_n,y_n) \in G(T_1+T_2)$ [/mm] liefert
(III) [mm] $y_n=T_1\,x_n+T_2\,x_n$
[/mm]
Nun:
(1) [mm] $((x_n,T_1\,x_n))_{n \in \IN}$ [/mm] ist eine Folge im (abgeschlossenen) Graphen [mm] $G(T_1)$
[/mm]
(2) [mm] $((x_n,T_2\,x_n))_{n \in \IN}$ [/mm] ist eine Folge im (abgeschlossenen) Graphen [mm] $G(T_2)$
[/mm]
Konsequenz aus (1) und (2) unter Beachtung von (I):
[mm] $x_0 \in D(T_1) \cap D(T_2)$
[/mm]
Nun ist noch zu prüfen, ob in der Tat auch [mm] $y_0=T_1\,x_0+T_2\,x_0$ [/mm] gilt. Es gilt für jedes $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm] $(\star)$ $\|y_0-(T_1+T_2)\,x_0\| \le \|y_0-y_n+y_n-(T_1+T_2)\,x_0\|$
[/mm]
[mm] $\le \|y_0-y_n\|+\|T_1\,x_n-T_1\,x_0\|+\|T_2\,x_n-T_2\,x_0\|$
[/mm]
unter Beachtung von (III). Schau' nun mal noch in (II) und überlege Dir auch, dass (1) (unter Beachtung von (I)) als Konsequenz auch hat:
[mm] $T_1 \, x_n \to T_1\,x_0$ [/mm] $(n [mm] \to \infty)$
[/mm]
und analog
[mm] $T_2 \, x_n \to T_2\,x_0$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$
[/mm]
und schon zeigt [mm] $(\star)$ [/mm] gerade, dass [mm] $(T_1+T_2)\,x_0=y_0$ [/mm] gelten muss. Also?
(P.S.:
Zur Erinnerung: Hier sind die Notationen
[mm] $x=\lim_{n \to \infty}x_n$ [/mm] bzw.
[mm] $x_n \to [/mm] x$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm]
äquivalent und zu verstehen im Sinne von
[mm] $0=\lim_{n \to \infty}\|x_n-x\|$ [/mm] (bzw. [mm] $\|x_n-x\| \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$).)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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