Summe berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Gesucht ist die Summe folgender Reihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{2n}*(-1)^n}{(2n)!} [/mm] * [mm] (\bruch{2n+1+2^{2n+1}*x}{2n+1} [/mm] )
2) der Konvergenzradius
3) die 1.000 Ableitung in (0) |
Hallo alle zusammen
Nun ich beginne - ausmultiplizieren ergibt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{2n}*(-1)^n}{(2n)!} [/mm] * [mm] (\bruch{2n+1}{2n+1} [/mm] ) + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{2n}*(-1)^n}{(2n)!} [/mm] * [mm] (\bruch{2^{2n+1}*x}{2n+1} [/mm] )
=
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{2n}*(-1)^n}{(2n)!} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{2n}*(-1)^n}{(2n)!} [/mm] * [mm] (\bruch{2^{2n+1}*x}{2n+1} [/mm] )
=
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{2n}*(-1)^n}{(2n)!} [/mm] = cos(x)
somit
cos(x) + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{2n}*(-1)^n}{(2n)!} [/mm] * [mm] (\bruch{2^{2n+1}*x}{2n+1} [/mm] )
=
soweit keine Kunst, jetzt happerts aber, ein kläglicher Versuch aber eine Ableitung des 2. Therms ist das, was mich pers denke ich am meisten weiter bringen wird:
cos(x) + [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n)!*(2n+1)} [/mm] * [mm] (\bruch{2^{2n+1}*x*x^{2n}}{1} [/mm] )
=
cos(x) + [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n)!*(2n+1)} [/mm] * [mm] (2^{2n+1}*x^{2n+1} [/mm] )
=
Ableitung
cos(x) + [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n)!*(2n+1)} [/mm] * [mm] (2^{2n+1}*(2n+1)*x^{2n} [/mm] )
=
cos(x) + [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n)!} [/mm] * [mm] (2^{2n+1}*x^{2n} [/mm] )
=
das bringt mich auch nicht sehr weit, diese [mm] 2^{2n+1} [/mm] stört mich irgendwie. Hat hier jemand einen Vorschlag wie ich vorgehen könnte?
2) Die Aufgabe ist zwar noch nicht ganz fertig, dennoch kann man ja schon davon ausgehen, dass wenn ich ein cos(x) in meiner Summe vorfinde, dass der [mm] R=\infty [/mm] sein wird, oder etwa nicht?
3) Berechne ich dann wohl so : f^(1000)(0) = f(0)/1000! = ?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Mo 03.01.2011 | | Autor: | wauwau |
schau dir Deine zweite Reihe an (das ist doch sin(2x)!!!)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Zuggel |
Echt jetzt? Wo kommt denn dann die [mm] 2^{2n+1} [/mm] hin? Das verstehe ich nicht
Noch dazu, die richtige Lösung wäre
cos(x)+sin(2x) -1 -2x | da fehlen mir doch glatt noch 2 Therme!
lg
Chris
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Hans11 |
Hallo
Du kannst ja schreiben [mm] 2^{2n+1} \cdot x^{2n+1} = (2x)^{2n+1} [/mm]
Die zwei zusätzlichen Terme rühren daher, dass du den ersten Summanden der sin bzw. cos - Reihen jeweils weglässt; du beginnst schließlich nicht bei n=0. (Hast also eine paar Fehler in deiner Rechnung)
Gruß
Hans
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Di 04.01.2011 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo
>
> Du kannst ja schreiben [mm]2^{2n+1} \cdot x^{2n+1} = (2x)^{2n+1}[/mm]
>
> Die zwei zusätzlichen Terme rühren daher, dass du den
> ersten Summanden der sin bzw. cos - Reihen jeweils
> weglässt; du beginnst schließlich nicht bei n=0. (Hast
> also eine paar Fehler in deiner Rechnung)
>
> Gruß
> Hans
>
Oh man diese verluchten Indexe... Nun gut, aber ich verstehe das noch nicht ganz (index auf 0 gesetzt und 2x herausgeholt, ich betrachte jetzt nur noch die Reihe)
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n!}*\bruch{1}{2n+1}*(2x)^{2n+1}
[/mm]
Ich habe hier Probleme mit dem 2n! * (2n+1) - kann ich das irgendwie in eine für mich vorteilhafte Form bringen?
Ich weiß nur, dass (n+1)! = n!*(n+1) ist, aber ich glaube hier kann ich das nicht sagen, oder? Also dass 2n! * (2n+1) = (2n+1)! ist?
der sin(x) ist ja definiert mit
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}*(x)^{2n+1}
[/mm]
Edit:
Der einzig für mich plausible Weg wäre das Ableiten der Funktion, also dann komme ich auf :
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n!}*(2x)^{2n}
[/mm]
(bleibt der index n=0 oder muss ich ihn erhören auf n=1 im Summenzeichen?)
welches sich ganz klar als cos(2x) herausstellt und identifiziert, über das Integral komme ich dann aber auf 1/2*sin(2x). Was mache ich hier falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Di 04.01.2011 | | Autor: | Hans11 |
Hallo
Wenn du m=2n setzt, hast du wieder deine rekursive Definition der Fakultät (nur mit m statt mit n).
Dann siehst du auch, dass die zweite Reihe sin(2x) ist - bis auf einen Summanden.
Wieso du jetzt ableiten willst, wird mir nicht klar. (Ist auch nicht ganz richtig, beachte die Kettenregel)
Gruß
Hans
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Zuggel |
Ahja perfekt.
Nun das mit der Ableitung hat einmal bei einer Summe funktioniert, seit dem versuch ich das immer wieder *grins*. Meistens ist es wirklich nur Bastelarbeit.
Nun ich bin auf das Ergebnis gekommen, ich bitte um eine Überprüfung meines Gedankenganges zu Aufgabenpunkt 2) und 3):
[mm] 2)\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{2n}\cdot{}(-1)^n}{(2n)!}*\bruch{2n+1+2^{2n+1}\cdot{}x}{2n+1}
[/mm]
y(x)=1+2x+cos(x)+sin(2x)
Nun, cos(x) und sin(2x), von denen weiß ich, dass sie konv. Radius [mm] R=\infty [/mm] haben. Also wird der konv. Radius unweigerlich [mm] R=\infty [/mm] sein.
Hier auf der Summe mit 1/Quotientenkr. oder 1/Wurzelkr den Radius zu berechnen hätte wohl wenig Sinn,oder?. Muss ich hier noch etwas beachten? Ich habe mich jetzt nur auf den sin und cos konzentriert, 1 und 2x sind ja auch den beiden Summen entsprungen, somit werden sie wohl nicht sonderlich beitrachten,oder?
Was wäre eigentlich, wenn als Lösung etwas in Richtung [mm] \bruch{1}{1-x}+sin(x) [/mm] herausgekommen wäre? Nur als Beispiel. Dann wüsste ich, dass erster Therm R=1 und 2. Therm [mm] R=\infty [/mm] hat. Wäre dann der Konv Radius R=1?
3) Also die 1.000 Ableitung, ich mache das immer so:
Ich schaue mir die Summe an:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{2n}\cdot{}(-1)^n}{(2n)!}*\bruch{2n+1+2^{2n+1}\cdot{}x}{2n+1}
[/mm]
sehe ok: [mm] x^{2n} [/mm] ist die höchste Hochzahl, ich muss die 1000 Ableitung machen. Nun dividiere ich 1000/2 = 500 = n
und setze den Wert für n ein. [mm] x^{2n} [/mm] wird dabei = 1 und alle tieferen Hochzahlen = 0
also habe ich folgendes hier stehen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{500}}{(2*500)!}*\bruch{2n+1+0}{2n+1} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{500}}{(2*500)!}*1 [/mm] = 1 / 1000!
[mm] f^{1000}(0)=1000!*\bruch{1}{1000!}= [/mm] 1
Passt das so?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Mi 05.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die 1 Stimmt.
das hab ich schneller, wei die 1000Abl von cosx wieder cosx ist, die von sin wieder sin also verschwindet, cos(0) bleibt.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:32 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Zuggel |
Ich bitte noch um Überprüfung des Konvergenzradius in meinem vorherigen Posting! Bzw Überprüfung des Weges auf welchem ich zu [mm] R=\infty [/mm] gekommen bin!
> Hallo
> die 1 Stimmt.
> das hab ich schneller, wei die 1000Abl von cosx wieder
> cosx ist, die von sin wieder sin also verschwindet, cos(0)
> bleibt.
> Gruss leduart
>
Ja gut, aber wir sollten das durch den angegebenen Weg lösen. Wobei mir bei diesem aufgefallen ist, dass es Probleme geben könnte, zB. die 4. Ableitung suche, und ich ein [mm] x^{2n+1} [/mm] irgendwo stehen habe, konkretes Beispiel:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n!}*(x^2n [/mm] + [mm] x^{2n+1}) [/mm] - wie komme ich bei so einem Beispiel über meinen Weg auf die 4. Ableitung? Denn 2n+1 ist die höchste Hochzahl, und somit 2n+1 = 4 - da gibts Probleme... Was mache ich denn bei sowas? Summe berechnen und diese ableiten?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 So 09.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
