Summe berechnen mit Binomische < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Mo 16.04.2012 | | Autor: | Jaki123 |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} k*5^{k} [/mm] |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Summe-berechnen-Binomischer-Lehrsatz
Also von oben angegeben bräuchte ich die Summe in der Form [mm] (a+b)^n
[/mm]
Also meine Gedanken dazu sind folgende:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} k*5^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{n!}{k!*(n-k)!} k*5^{k}
[/mm]
dann wird n! und k! etwas aufgeteilt und n herausgehoben sowie k streicht sich:
n * [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{(n-1)!}{(k-1)!*(n-k)!} 5^{k}
[/mm]
Nächster Schritt ist dann das (n-k) aufzuteieln in ((n-1) - (k-1))!
n * [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{(n-1)!}{(k-1)!*((n-1)-(k-1)!} 5^{k}
[/mm]
Ja das wars soweit :/
Ich hoffe ihr wisst worums geht.
Also am Ende soll sowas in der Form von 5n * [mm] 6n^{n-1} [/mm] dabei rauskommen.
Danke schonmal für lesen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Mo 16.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} k*5^{k}[/mm]
> Ich habe diese
> Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten
> gestellt:
>
> http://www.onlinemathe.de/forum/Summe-berechnen-Binomischer-Lehrsatz
>
>
> Also von oben angegeben bräuchte ich die Summe in der Form
> [mm](a+b)^n[/mm]
>
> Also meine Gedanken dazu sind folgende:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} k*5^{k}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{n!}{k!*(n-k)!} k*5^{k}[/mm]
>
> dann wird n! und k! etwas aufgeteilt und n herausgehoben
> sowie k streicht sich:
>
> n * [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{(n-1)!}{(k-1)!*(n-k)!} 5^{k}[/mm]
>
> Nächster Schritt ist dann das (n-k) aufzuteieln in ((n-1)
> - (k-1))!
>
> n * [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{(n-1)!}{(k-1)!*((n-1)-(k-1)!} 5^{k}[/mm]
>
> Ja das wars soweit :/
Ja, und was hast Du gewonnen ? Nichts !
machen wirs mal so:
Setze
(*) $f(x):= [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^k$
[/mm]
Nach dem Binomischen Satz ist
(**) [mm] $f(x)=(1+x)^n$
[/mm]
Aus (*) folgt:
$f'(x)= [mm] \summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k}kx^{k-1}$
[/mm]
Aus (**) bekommen wir:
[mm] $f'(x)=n(1+x)^{n-1}$
[/mm]
Mit jeder der beiden Darstellungen von f' berechne 5*f'(5)
FRED
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> Ich hoffe ihr wisst worums geht.
> Also am Ende soll sowas in der Form von 5n * [mm]6n^{n-1}[/mm]
> dabei rauskommen.
>
> Danke schonmal für lesen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Di 17.04.2012 | | Autor: | Jaki123 |
Ja danke für die Antwort, aber woher weiss ich das ich die abgeleiteten Funktionen mal 5 nehmen muss?
Vor allem wenn ich bei der ersten Ableitung von (*) {f(x)} := [mm] \summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k}kx^{k-1}
[/mm]
x = 5 nehme komme ich ja nur auf die Ausgangsform, bzw auf [mm] 1*5^{1-1} [/mm] wenn ich halt 1 für k einsetze :/
Danke schon mal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Di 17.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ja danke für die Antwort, aber woher weiss ich das ich die
> abgeleiteten Funktionen mal 5 nehmen muss?
>
> Vor allem wenn ich bei der ersten Ableitung von (*) {f(x)}
> := [mm]\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k}kx^{k-1}[/mm]
>
> x = 5 nehme komme ich ja nur auf die Ausgangsform, bzw auf
> [mm]1*5^{1-1}[/mm] wenn ich halt 1 für k einsetze :/
>
> Danke schon mal
Es ist doch
$ [mm] f'(5)=\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k}k*5^{k-1}$
[/mm]
Also
$ 5* [mm] f'(5)=\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k}k*5^{k}= \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}k*5^{k}$
[/mm]
So, nun berechne mit
$ [mm] f'(x)=n(1+x)^{n-1} [/mm] $
5*f'(5) und schau was passiert.
FRED
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