Summe der Einheitswurzeln < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] n\in \IN. $\delta_1,\delta_2,...,\delta_n \in \IC$ [/mm] sind die Einheitswurzeln.
(i) Berechnen Sie:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\delta_k
[/mm]
und
[mm] \produkt_{k=1}^{n}\delta_k
[/mm]
Hinweis: Zeigen Sie, dass [mm] z^{n}-1=(z-1) \summe_{k=0}^{n-1}z^k [/mm] |
Zur Summe hab ich mir folgendes gedacht:
Die Einheitswurzeln sind die Lösungen des Polynoms:
[mm] $z^n-1=0$ [/mm] und damit so darstellbar:
[mm] $(z-\delta_1)\* ...\* (z-\delta_n)=0
[/mm]
jetzt (z-1) ausklammern:
[mm] (z-1)(\delta_1 [/mm] + ... + [mm] \delta_n)=\summe_{k=1}^{n}\delta_k
[/mm]
Aber ich weiß nicht, wie ich auf den Hinweis von der Aufgabe komme und bitte um Hilfe
Vielen Dank!
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Hallo,
> [mm](z-1)(\delta_1[/mm] + ... + [mm]\delta_n)=\summe_{k=1}^{n}\delta_k[/mm]
hier ist dir meiner ANsicht nach ein Fehler unterlaufen. Wenn du die Wurzeln von 1 bis n durchnummerierst, so ist die erste Wurzel in der rechten Klammer [mm] \delta_2 (\delta_1=1!).
[/mm]
Ich steige aber bei dem Sinn des Hinweises (der wurde für die erste teilaufgabe gegeben?) auch noch nicht so ganz durch. Ist nämlich n gerade, so ist die Sache trivial. Ist n aber ungerade, so spaltet man die einzige reelle Wurzel mit der Faktorisierung ab und erhält wieder eine geradzahlige Anzahl von Wurzeln, die bezüglich der reellen Achse symmetrisch liegen. Du musst also nur noch die Realteile der Wurzeln betrachten, da die Imaginärteile in der Summe wegen dieser Symmetrie 0 ergeben müssen.
Die zweite Teilaufgabe löst man natürlich sehr bequem in der Exponential- oder auch in der goniometrischen Darstellung. Dürft ihr die - nebst der Moivreschen Formel - bereits benutzen?
Gruß, Diophant
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Wie meinst du den Fehler?
Ich habe doch $ [mm] (z-1)\* (\delta_1+...+\delta_n)$
[/mm]
Okay, da [mm] $\delta_1=1$, [/mm] kann ichs auch als $(z-1) [mm] \* (1+\delta_2+...+\delta_n)$ [/mm] schreiben!
Okay, das wäre dann ja wieder $(z-1) [mm] \* [/mm] ( [mm] \delta_2+...+\delta_n) [/mm] $
Meintest du das?
Ja, der Hinweis gilt für diese Aufgabe und soll bei der Berechnung der Summe benutzt werden, denke ich :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Mi 21.12.2011 | | Autor: | Helbig |
Um den Hinweis zu nutzen, beachte
[mm] $\delta_k [/mm] = [mm] \exp\left(\bruch {2 \pi i} n *(k-1)\right)=\delta_2^{k-1}$ [/mm] für [mm] $k=1,\ldots [/mm] n$.
Der Hinweis ist übrigens die Formel für die geometrische Summe.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 Mi 21.12.2011 | | Autor: | DudiPupan |
> Um den Hinweis zu nutzen, beachte
>
> [mm]\delta_k = \exp\left(\bruch {2 \pi i} n *(k-1)\right)=\delta_2^{k-1}[/mm]
> für [mm]k=1,\ldots n[/mm].
Ja, das habe ich inzwischen auch.
es ergibt sich dann doch [mm] $exp(\frac{i 2\pi }{n})^k [/mm] = [mm] z^k
[/mm]
und dann weiter mit der geometrischen Summe!
:) Vielen Dank
>
> Der Hinweis ist übrigens die Formel für die geometrische
> Summe.
>
> Gruß,
> Wolfgang
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Also die erste habe ich nun gelöst. jedoch habe ich jetzt meine Probleme bei der 2ten!
Kann mir da vllt jemand auf die Sprünge helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Mi 21.12.2011 | | Autor: | Helbig |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Also die erste habe ich nun gelöst. jedoch habe ich jetzt
> meine Probleme bei der 2ten!
> Kann mir da vllt jemand auf die Sprünge helfen?
Für ganzzahlige Exponenten gilt die Potenzregel
$z^{(k+l)}=z^k*z^l$.
Daraus folgt
$\prod_{k=0}^{n-1} z^k = z^{\bruch {n*(n-1)}2$, weil $\bruch {n*(n-1)} 2 = \sum_{k=0}^{n-1} k$.
Beachte $z^{\bruch {n*(n-1)}2$ ist nur definiert, weil $\bruch {n*(n-1)} 2$ eine ganze Zahl ist.
Für z=$\delta_2$ ergibt sich nun $z^{\bruch {n*(n-1)}2} = \exp\left(\bruch {2\pi i} n}*\bruch {n*(n-1)} 2\right) = (-1)^{n-1}$.
OK?
Gruß,
Wolfgang
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