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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Do 30.08.2012 | | Autor: | hippias |
Ich suche eine anschauliche, schuelerfreundliche Herleitung fuer die Formel von [mm] $\sum_{k=1}^{n} k^{2}$. [/mm] Speziell erinnere ich mich einmal eine gesehen zu haben, etwa wie folgt: Man stelle sich quadratische Prismen der Hoehe $1$ und Seitenlaenge $k$ vor. Diese werden so aufeinandergelegt, dass beispielsweise die linken unteren Ecken uebereinanderliegen; dadurch entsteht ein pyramidenartiger Koerper. Dann wurden, glaube ich, drei solcher Koerper geschickt zusammengesetzt, sodass ein Quader entstand, dessen Volumen leicht zu ermitteln, was es erlaubte auf das Volumen der Pyramide [mm] (=$\sum_{k=1}^{n} k^{2}$) [/mm] zu schliessen.
Kommt das irgendjemand bekannt vor? Findet man soetwas im Netz?
Vielen Dank!
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Hallo,
von deinem Vorschlag habe ich noch nichts gehört, aber habe hier etwas ähnliches gefunden:
http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~ringel/puzzle/puzzle02/summen3.htm
Edit: Hier stand Mist !
Die Idee scheint folgende zu sein:
Wie in obigem Link beschrieben für N=4 bechrieben, baust du sechs Pyramiden jeweils bestehend aus 4 quadern mit höhe 1 und seitenlänge k wobei [mm] 1\leq k\leq [/mm] N(=4).
Sechs dieser Pyramiden lassen sich zu einem Quader mit Seitenlängen N,(N+1) und (2N+1) zusammensetzen. Das Volumen einer einzelnen Pyramide entspricht gerade der Summe der ersten N Quadratzahlen und daher folgt dann, dass [mm] \sum_{k=1}^{N}k^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}
[/mm]
LG
LG
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Hallo hippias,
sehr hübsch finde ich auch die zweite Idee in Aufgabe 1 auf ![[]](/images/popup.gif) dieser Seite.
Man braucht dazu aber schon die "einfache" Summenformel ("kleiner Gauß").
Wenn man die hat, geht es ohne Anschauung auch so ganz hübsch.
Ich schließe mich MontBlancs Frage an - welche Zielgruppe?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 Do 30.08.2012 | | Autor: | hippias |
Herzlichen Dank euch beiden! MontBlancs Link war genau das,was ich gesucht habe - ich hasse solche Beweise! Es ist fuer jemandem im 12ten Jahrgang (Thema Integralrechnung). Mal schauen wie's ankommt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 Do 30.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich suche eine anschauliche, schuelerfreundliche Herleitung
> fuer die Formel von [mm]\sum_{k=1}^{n} k^{2}[/mm].
ist zwar rein formal, aber
[mm] $$\sum_{k=1}^n k^2=\sum_{k=0}^n ((k+1)^2-2k-1)$$
[/mm]
könnte man ausnutzen.
edit: das war doch ein Hinweis in die falsche Richtung!
Was mir aber gerade im Sinn schwebt:
Es ist [mm] $\int_{0}^{n}2xdx=n^2-0^2=n^2\,.$ [/mm] Dann folgt etwa (weil man
ja [mm] $\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$ [/mm] ausnutzen kann)
[mm] $$1^2+2^2=\int_0^1 2xdx+\int_0^2 2xdx=2*\int_0^1 2xdx+\int_1^2 2xdx\,.$$
[/mm]
Allgemein
[mm] $$\sum_{k=1}^n k^2=n*\int_{0}^1 2xdx+(n-1)*\int_{1}^2 2xdx+\ldots+2*\int_{n-2}^{n-1}2xdx+1*\int_{n-1}^n 2xdx\,.$$
[/mm]
Also
[mm] $$\sum_{k=1}^n k^2=n+(n-1)(2^2-1^2)+(n-2)*(3^2-2^2)+...+2*((n-1)^2-(n-2)^2)+(n^2-(n-1)^2)\,.$$
[/mm]
D.h.
[mm] $$\sum_{k=1}^n k^2=\sum_{k=0}^{n-1} (n-k)*((k+1)^2-k^2)$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \sum_1^n k^2=\sum_0^{n-1}(n-k)(2k+1)$$
[/mm]
(diese letzte Gleichung schreit doch aber irgendwie nach geometrischer Interpretation!)
[mm] $$\gdw \sum_1^n k^2=\sum_0^{n-1}(n*2k+n-2k^2-k)\,.$$
[/mm]
Das kann man umschreiben zu
[mm] $$\sum_1^n k^2=2n\sum_0^{n-1}k+n^2-2\sum_0^{n-1}k^2-\sum_0^{n-1}k\,.$$
[/mm]
Wir ändern nichts, wenn wir die Summen rechterhand bei [mm] $k=1\,$ [/mm] starten
lassen
[mm] $$\sum_1^n k^2=2n\sum_1^{n-1}k+n^2-2\sum_1^{n-1}k^2-\sum_1^{n-1}k\,.$$
[/mm]
Mit dem kleinen Gauß
[mm] $$3*\sum_1^{n-1}k^2=2n*\frac{n*(n-1)}{2}-\frac{n*(n-1)}{2}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] 3 [mm] \sum_1^{n-1}k^2=(2n-1)\frac{n*(n-1)}{2}\,.$$
[/mm]
Das sollte dann die passende Formel ergeben!
So, und wie Du siehst: Die Integrale oben kann man ja schön
mit Dreiecksflächen beschreiben. Die Summe der Quadrate ist dann
die Summe von Flächen gestreckter gleichschenkliger und rechtwinkliger
Dreiecke. Die ganzen Summen lassen sich dann geometrisch auffassen.
(Vielleicht kann man auch irgendwie mit Trapezen rechnen...)
Aber das für einen Unterricht vorzubereiten, so dass man jeden Schritt
nachvollziehen kann: Viel Spaß! 
(Außerdem habe ich ja auch wieder den kleinen Gauß verwendet - aber
da gibt's ja auch geometrische Beweise...)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Fr 31.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
mal eine formale Alternative:
Wir betrachten
[mm] $$\sum_{n=1}^N \sum_{k=1}^n k\,.$$
[/mm]
Dann gilt einerseits
[mm] $$\sum_{n=1}^N \sum_{k=1}^n k=\sum_{k=1}^{N}(N+1-k)*k$$
[/mm]
(erkennt man sofort, wenn man eine Dreiecksmatrix mit passenden
Einträgen definiert)
sowie andererseits
[mm] $$\sum_{n=1}^N \sum_{k=1}^n k=\sum_{n=1}^N \frac{n}{2}(n+1)\,.$$
[/mm]
Dies hat zur Folge
[mm] $$\sum_{k=1}^{N}(N+1-k)*k=\sum_{k=1}^N \frac{k}{2}(k+1)$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$\sum_{k=1}^N \left(Nk+k-k^2-\frac{k^2}{2}-\frac{k}{2}\right)=0$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$\sum_{k=1}^N \left(\frac{2N+1}{2}k-\frac{3}{2}k^2\right)=0\,.$$
[/mm]
Also
[mm] $$(2N+1)\sum_{k=1}^N k=3\sum_{k=1}^Nk^2\,.$$
[/mm]
Nach Anwendung des kleinen Gaußs ist man dann auch schnell fertig!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:36 Fr 31.08.2012 | | Autor: | hippias |
Schoen! Beide Varianten waren mir nicht gelaeufig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Fr 31.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Schoen! Beide Varianten waren mir nicht gelaeufig.
wundert mich nicht: Das habe ich mir gestern selbst überlegt. Also wenn's
die Integralvariante (bzw. Dreiecksvariante) schon gab, kannte ich sie
jedenfalls nicht oder hab' den Bezug nicht im Kopf (kann ja sein, dass
jemand das ganze genauso behandelt hat, nur es ein wenig "geometrischer"
erklärt hat - es würde mich schon fast wundern, wenn ich da einen neuen
Beweis entwickelt hätte).
Den anderen Beweis mit [mm] $\sum_{n=1}^N \sum_{k=1}^n [/mm] k$ fand' ich
als Ansatz gut, weil da irgendwie durch den kleinen Gauß auch die
Quadratsumme mit reinkommen muss. Da bin ich mir aber fast sicher,
dass ich das ganze auch so schonmal gesehen habe - und sei es nur,
dass jemand diese Aufgabe mal als Übungsaufgabe gestellt hatte und
diesen Tipp gegeben hat. Also da Zweifel ich ganz stark dran, dass das
alleine meine Idee war, so vorzugehen. Könnte zwar sein, aber würde mich
stark wundern ^^
Gruß,
Marcel
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