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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Fr 31.08.2007 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert der folgenden Reihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{4 * 5^n}{n!} [/mm] |
Hier stehe ich völlig auf dem Schlauch. Klar ist, dass man den Faktor 4 herausziehen kann.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{4 * 5^n}{n!} [/mm] = 4 * [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{5^n}{n!}
[/mm]
Das schreit (ein kleines bisschen) nach der geometrischen Reihe. Ohne n! im Nenner wäre das jetzt einfach zu lösen [mm] (\bruch{4}{1-5} [/mm] = -1)...
Doch was stelle ich mit n! an?
Danke im Voraus an denjenigen, der mich vom Schlauch schiebt... ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Fr 31.08.2007 | | Autor: | MaRaQ |
Okay - da habe ich dieses mal die Exponentialreihe nicht erkannt. :(
Dann kann man also über
4 * [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{5^n}{n!} [/mm] = [mm] 4*\lim_{n\rightarrow\infty}(1 [/mm] + [mm] \bruch{x}{5})^n [/mm] = 4 * 1 = 4
den Grenzwert 4 bestimmen (da ja für n gegen unendlich 5/n gegen Null geht und somit gesamte Term gegen 1)
Was mich hier verwirrt ist, dass dann die Exponentialreihe unabhängig vom x (bei gleichbleibendem Faktor 1) immer gegen 1 konvergiert?
Habe ich da einen Denkfehler eingestreut?
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> Okay - da habe ich dieses mal die Exponentialreihe nicht
> erkannt. :(
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> Dann kann man also über
> 4 * [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{5^n}{n!}[/mm] =
> [mm]4*\lim_{n\rightarrow\infty}(1[/mm] + [mm]\bruch{x}{5})^n[/mm] = 4 * 1 =
> 4
Hallo,
mit Verlaub: das, was Du da oben schreibst, ist Unfug...
Wie kommst Du denn darauf, daß [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{5^n}{n!}=\lim_{n\rightarrow\infty}(1[/mm] [/mm] + [mm][mm] \bruch{x}{5})^n [/mm] ist?
Guck' Dir den Wiki-Link nochmal genau an. Du mußt doch das x durch die 5 ersetzen!
Beachte weiter, daß die Summation Deiner Reihe bei 1 beginnt, die für die Exponentialfunktion aber bei 0.
Und mach's Dir nicht unnötig schwer.
da steht doch [mm] e^x:=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n}{n!}.
[/mm]
Also ist [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{5^n}{n!}=???,
[/mm]
und folglich [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{5^n}{n!}= [/mm] ... .
Wenn Du das hast, bist Du nahezu am Ziel.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Fr 31.08.2007 | | Autor: | MaRaQ |
Gut, da ist mir ein Tippfehler unterlaufen - wie auch aus meinem Text danach ersichtlich ist, habe ich mit
[mm] 4*\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{5^n}{n!}=4*\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{5}{n})^n [/mm] = 4*1 = 4
gerechnet - sonst - wie du so nett sagtest - wäre es wirklich absoluter Unfug gewesen...
Wobei ich vermute, dass es auch ohne den Notationsfehler nicht viel besser ist.
Dass man da 4*exp(5) stehen hat, ist soweit klar. So wie ich dich grade verstehe, möchtest du damit sagen, dass das schon unser gesuchter Grenzwert ist?
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Gut, dann war das nur ein Tippfehler.
Auch wenn es für die Lösung der Aufgabe nicht von Belang ist, so will ich es doch erwähnen:
> [mm] =4*\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{5}{n})^n[/mm] [/mm]
> = 4*1 = 4
Wie kommst Du denn hier auf 4*1? Was ist [mm] \lim_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{5}{n})^n? [/mm] =1 ist das nicht!
> Dass man da 4*exp(5) stehen hat, ist soweit klar.
Nein, nicht ganz. ich wies doch auf die Summation hin, die bei der von Dir zu berechnenden Reihe erst bei 1 beginnt.
>So wie
> ich dich grade verstehe, möchtest du damit sagen, dass das
> schon unser gesuchter Grenzwert ist?
Nicht ganz. Wie gesagt: der Summationsindex.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Fr 31.08.2007 | | Autor: | MaRaQ |
Okay. Der Summationsindex. Der Teufel steckt im Detail.
Da wir in der Gleichung ab 0 noch das [mm] \bruch{x^0}{0!} [/mm] = 1 enthalten haben, muss ich das für die Reihe ab 1 noch vom Grenzwert abziehen, sehe ich das richtig?
Demnach erhalte ich "4*exp(5) - 1" als Grenzwert?
Auf jeden Fall hier schon mal ein großes Danke für eure Geduld und das kleinschrittige Erklären - das hilft mir genau so sehr viel weiter (glaube/hoffe ich) ;)
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Zum anderen Weg: Hier vermute ich, dass meine schrittweise Betrachtungsweise des Grenzwertes von
$ [mm] \lim_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{5}{n})^n? [/mm] $
durch [mm] "\bruch{5}{n} [/mm] geht gegen Null, also der Term in der Klammer gegen 1 - und 1 hoch irgendwas bleibt immer 1" wahrscheinlich inkorrekt war - wie man es richtig gemacht hätte, hat sich mir allerdings noch nicht aufgeschlossen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Fr 31.08.2007 | | Autor: | cutter |
> Zum anderen Weg: Hier vermute ich, dass meine schrittweise
> Betrachtungsweise des Grenzwertes von
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{5}{n})^n?[/mm]
> durch [mm]"\bruch{5}{n}[/mm] geht gegen Null, also der Term in der
> Klammer gegen 1 - und 1 hoch irgendwas bleibt immer 1"
> wahrscheinlich inkorrekt war - wie man es richtig gemacht
> hätte, hat sich mir allerdings noch nicht
> aufgeschlossen...
Richtig...das ist vollkommen inkorrekt.
Du darsft ja nicht zuerst den inneren Grenzwert berechnen und danach den aeusseren.
Beide wirken zusammen, hier steckt der Fehler.
Grüße ( Der Rest ist auch richtig )
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> Demnach erhalte ich "4*exp(5) - 1" als Grenzwert?
Nur zur Sicherheit: 4*(exp(5) - 1) .
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 Fr 31.08.2007 | | Autor: | MaRaQ |
Ja, genau. ;)
Tausend Dank für Deine Geduld.
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Exponentialreihe / Exponentialfunktion