Summe einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Cybrina |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] |
Davon suche ich die Summe.
Danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Mi 11.06.2008 | | Autor: | statler |
Hi Sandra!
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k}[/mm]
> Davon suche ich die
> Summe.
Noch ist es ganz kalt. Mein Vorschlag, in den wärmeren Bereich zu kommen, ist, daß du die Summe für die ersten paar n berechnest und dann eine Vermutung über die allgemeine Formel anstellst.
Vielleicht ist es besser, die Summation mit k = 0 beginnen zu lassen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Cybrina |
| Aufgabe | | [mm] \sum_{k=1}^{n} k^3 \vektor{n \\ k} [/mm] |
Hallo.
Danke erstmal für deine Antwort. Aber wie erwähnt, hatte ich mich ja vertan (upps) und wollte eigentlich obere Summe berechnen.
Da ist es ja auch egal ob man bei k=0 oder bei k=1 startet.
Hab auch schonmal versucht, sie für die ersten n auszurechnen. Da komm ich auf folgende Werte:
1 10 54 241
Da seh ich keine Vorschrift. Bin mir auch nicht sicher, ob man die einfach so erraten kann.
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Blech |
Ein k kürzen, ein n rausziehen, dann wird's
[mm]\sum_{k=1}^{n} k^3 \vektor{n \\ k} = \sum_{k=1}^n nk^2 {n-1\choose k-1}=\sum_{k=0}^{n-1}n(k+1)^2 {n-1\choose k}[/mm]
Weiter mit Induktion (bzw. den Momenten einer Binomialverteilung, wenn Du die verwenden darfst =)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Cybrina |
Also, ich versteh was du da gemacht hast. Und finds auch ne gute Idee. Allerdings weiß ich nicht, was ich da jetzt mit Induktion machen soll. Um induzieren zu können, brauch ich doch erstmal ne Vermutung oder?
Na jedenfalls hab ich das ganze auf so ne Art wie du noch etwas weiter vereinfacht. Da kommt dann das raus:
[mm] n(n-1)\sum_{k=1}^{n-1} [/mm] k [mm] \vektor{n-2 \\ k-1} [/mm] + [mm] n^2 2^{n-1}
[/mm]
Allerdings fehlt mir da ja wieder das
[mm] \sum_{k=1}^{n-1} [/mm] k [mm] \vektor{n-2 \\ k-1}
[/mm]
Wie mach ich das jetzt?
Oder wie ist das mit Induktion gemeint. (Das mit dem Momenten hatte ich noch nicht, geh also mal davon aus, dass ich das nich benutzen darf.)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Blech |
> Also, ich versteh was du da gemacht hast. Und finds auch ne
> gute Idee. Allerdings weiß ich nicht, was ich da jetzt mit
> Induktion machen soll. Um induzieren zu können, brauch ich
> doch erstmal ne Vermutung oder?
Ich meinte nur, daß Du das Prinzip wiederholen sollst, bis Du fertig bist =)
> Na jedenfalls hab ich das ganze auf so ne Art wie du noch
> etwas weiter vereinfacht. Da kommt dann das raus:
>
> [mm]n(n-1)\sum_{k=1}^{n-1}[/mm] k [mm]\vektor{n-2 \\ k-1}[/mm] + [mm]n^2 2^{n-1}[/mm]
>
> Allerdings fehlt mir da ja wieder das
>
> [mm]\sum_{k=1}^{n-1}[/mm] k [mm]\vektor{n-2 \\ k-1}[/mm]
>
> Wie mach ich das jetzt?
Genau wie wir's vorher beim ersten Schritt auch gemacht haben =):
$l:=k-1 [mm] \Rightarrow [/mm] k=l+1$
[mm] $\sum_{k=1}^{n-1}k \vektor{n-2 \\ k-1} [/mm] = [mm] \sum_{l=0}^{n-2} (l+1)\vektor{n-2 \\ l}$
[/mm]
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Cybrina |
Ah ja. Vielen Dank. Das klappt so.
Sandra
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:38 Fr 13.06.2008 | | Autor: | statler |
Hi Sandra!
> [mm]\sum_{k=1}^{n} k^3 \vektor{n \\ k}[/mm]
> Danke erstmal für deine Antwort. Aber wie erwähnt, hatte
> ich mich ja vertan (upps) und wollte eigentlich obere Summe
> berechnen.
>
> Da ist es ja auch egal ob man bei k=0 oder bei k=1
> startet.
>
> Hab auch schonmal versucht, sie für die ersten n
> auszurechnen. Da komm ich auf folgende Werte:
>
> 1 10 54 241
Ich komme auf 1 10 54 224
> Da seh ich keine Vorschrift. Bin mir auch nicht sicher, ob
> man die einfach so erraten kann.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Cybrina |
Upps. Hab da was vergessen. Davon kenne ich ja die Summe [mm] (2^n)
[/mm]
Ich wollte eigentlich davon das Ergebnis:
[mm] \sum_{k=1}^{n} k^3 \vektor{n \\ k}
[/mm]
Tut mir Leid
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:39 Mi 11.06.2008 | | Autor: | luis52 |
> Upps. Hab da was vergessen. Davon kenne ich ja die Summe
> [mm](2^n)[/mm]
>
>
Nein, diese Summe ist [mm] $2^n-1$, [/mm] da die Summation nicht bei Null beginnt.
Kennst du vielleicht noch mehr, etwa [mm] $\sum k\binom{n}{k}$ [/mm] und [mm] $\sum k^2\binom{n}{k}$?
[/mm]
Dann kommt man vielleicht mit [mm] $\sum k(k-1)(k-2)\binom{n}{k}$ [/mm] zum Ziel.
vg Luis
|
|
|
|
