Summe/geometrische Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Berechne [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} [/mm] n² [mm] x^{n} [/mm] für |x | <1 |
Hallo!
Ich habe einen Lösungsbeginn, komme aber an einer Stelle nicht weiter:
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} [/mm] n² [mm] x^{n} [/mm] = x [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} [/mm] n² [mm] x^{n-1} [/mm] = x [mm] \bruch{d}{dx}\summe_{n=0}^{ \infty} [/mm] n [mm] x^{n}
[/mm]
Nun mein Problem: Ich würde das n gerne aus der Summe ziehen, damit ich die geometrische Reihe anwenden kann. Darf ich das einfach so, oder was muss ich bedenken?
1000 Dank!
|
|
| |
|
Hallo!
Bei [mm] $\summe_{n=0}^\infty nx^n$ [/mm] darfst du den Faktor $n$ nicht aus der Summe ziehen, weil das ja die Variable ist, über die summiert wird.
Was du aber benutzen kannst, ist [mm] $\summe_{n=0}^\infty nx^n=\summe_{n=0}^\infty (n+1)x^n-\summe_{n=0}^\infty x^n$.
[/mm]
Oder anders ausgedrückt, wenn du bereits am Anfang umformst:
[mm] $\summe_{n=1}^\infty n^2x^n=\summe_{n=1}^\infty n(n+1)x^n-\summe_{n=1}^\infty nx^n$...
[/mm]
Gruß, banachella
|
|
|
|
