Summe mit i < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 Di 06.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle [mm]n \in \IN[/mm], für die
[mm]\summe_{k=0}^{n} \ i^k \ = \ 1[/mm]
ist. |
Hallo,
ich komme mit dieser Aufgabe nicht klar, ich kann mir eine Lösung vorstellen, versuche diese mal zu beschreiben.
Also ansich ist das Ergebnis immer 1, wenn bei [mm]\frac{n}{4}[/mm] eine gerade Zahl rauskommt. Ich verdeutliche das mal mit ner Teleskopsumme:
[mm]\summe_{k=0}^{n} \ i^k \ = \ 1\blue{+i-1-i+1}+i-1-i+1...+i^k[/mm]
Der blau hervorgehobene Abschnitt wiederholt sich nonstop, dieser endet bei n = 4.
Also Ergebnis "1" bekommt man nur bei [mm]\summe_{k=0}^{(4n)^n}[/mm].
Das Problem was ich jetzt habe ist folgendes: Wie schreibe ich meine Gedankengänge mathematisch auf?
Wie muss ich diese Aufgabe überhaupt behandeln?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Mi 07.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich würde aufschreiben: [mm] i^k= [/mm] 1 für k=..
für alle 4 Fälle. dann würde ich die Summe umschreiben, deine 4 blauen Ausdrücke mit den 4 verscheidenen Hochzahlen. dann bist du fertig.
Richtig ist auch, zu begründen, warum nach 4 Summanden die 1 und dann immer wieder erreicht wird.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Mi 07.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Wie im Reellen gilt für komplexes q [mm] \not= [/mm] 1:
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] \ [mm] q^k [/mm] $ = [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
Also mußt Du n so bestimmen, dass [mm] $i^n [/mm] = 1$ ist
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Do 08.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hallo leduart
> Ich würde aufschreiben: [mm]i^k=[/mm] 1 für k=..
> für alle 4 Fälle. dann würde ich die Summe umschreiben,
> deine 4 blauen Ausdrücke mit den 4 verscheidenen
> Hochzahlen. dann bist du fertig.
danke für deine Antwort, tut mir leid, ich verstehe nicht ganz was du genau meinst. Meinst du mit Summe die Teleskopsumme?
Hätte ich nach deiner Variante nicht alle k bestimmt, statt n?
Hallo FRED
> Wie im Reellen gilt für komplexes q [mm]\not=[/mm] 1:
>
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \ q^k [/mm] = [mm]\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
>
>
> Also mußt Du n so bestimmen, dass [mm]i^n = 1[/mm] ist
>
> FRED
auch dir danke für deine Antwort. Aber aus deiner Hilfestellung bin ich leider auch nicht ganz Schlau raus geworden.
Soerst habe ich [mm]\bruch{1-i^{n+1}}{1-i}=1[/mm] gesetzt, versucht [mm]i^n[/mm] alleine zu bekommen, hatte nachher als Ergebnis [mm] i^n = \frac{(1+i)}{2}[/mm]. Das gleiche habe ich auch nochmal mit [mm]\bruch{1-i^{4n+1}}{1-i}=1[/mm] probiert, was etwa den gleichen Erfolg hatte.
Ich merke selber das ich bei dieser Aufgabe ein bisschen Begriffstutzig bin, weil ich wirklich nichtmal eine leise Ahnung habe, wie man hier vorzugehen hat. Wäre für paar weitere Tips dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Do 08.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lyrone!
Dann formen wir mal gemeinsam um ...
[mm] $$\bruch{1-i^{n+1}}{1-i} [/mm] \ = \ 1 \ \ [mm] \left| \ *(1-i)$$
$$1-i^{n+1} \ = \ 1-i \ \ \left| \ -1$$
$$-i^{n+1} \ = \ -i \ \ \left| \ : \ (-i)$$
$$i^n \ = \ 1$$
Gruß
Loddar
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Do 08.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Ok, das ist peinlich.
Danke Lodder für die Hilfe, ich habe mich total auf den Nenner fixiert. Habe diese einfache Lösung nicht gesehen, statt dessen habe ich den Bruch immer mit der 3 Binomischen Formel erweitert um das i unten wegzubekommen.
Aber Sorry, wenn ich nochmal nachfrage, ist das jetzt die Endlösung? Muss ich nicht angeben, bei welchen n [mm]i = 1[/mm]. Also irgendwie sowas [mm]n = \{x|x \in \IN \ \ und \ \ nur \ \ jedes \ \ 4 \ x\}[/mm]? Oder habe ich mich in dieser Idee verrannt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Do 08.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lyrone!
Man kann z.B. als Lösungsmenge schreiben:
[mm] $$\IL [/mm] \ = \ [mm] \left\{ \ n,k\in\IN \ | \ n=4*k \ \right\}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:33 Fr 09.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Lyrone!
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> Man kann z.B. als Lösungsmenge schreiben:
> [mm]\IL \ = \ \left\{ \ n,k\in\IN \ | \ n=4*k \ \right\}[/mm]
So ist das nicht richtig!
Besser:
[mm] \IL [/mm] = { n [mm] \in\IN [/mm] | es gibt ein k [mm] \in \IN [/mm] mit n=4*k}
FRED
>
> Gruß
> Loddar
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> > Man kann z.B. als Lösungsmenge schreiben:
> > [mm]\IL \ = \ \left\{ \ n,k\in\IN \ | \ n=4*k \ \right\}[/mm]
>
> So ist das nicht richtig!
>
> Besser:
>
> [mm] $\IL= \{\ n\, \in\IN \ | \ es\ gibt\ ein\ \ k \in \IN\ mit\ \ n=\,4*k\}$
[/mm]
oder auch: [mm] $\IL= \{\,4*k\ |\ k \in \IN\}$
[/mm]
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:42 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Ok, ich nehme die letzte Variante.
Danke Loddar, fred97 und Al-Chwarizmi für eure Antworten.
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