Summe unabhängig < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Sa 07.07.2012 | | Autor: | Katze_91 |
| Aufgabe | Sei X eine Poisson-verteilte Zufallsvariable mit Parameter [mm] \lambda [/mm] >0 und sei [mm] S:=\summe_{i=1}^{X} Y_i [/mm] wobei [mm] Y_i [/mm] iid, ~B(1,p) und von X unabhängig sind
Zeigen Sie, dass die gemeinsame Verteilung von (X,S) gegeben ist durch
[mm] P(X=x,S=s)=\vektor{x \\ s} p^s(1-p)^{x-s} exp(-\lambda)\bruch{\lambda^x}{x!} [/mm] |
Hi meine frage ist, wie ich beweise, dass, wenn die Summanden unabhängig von X sind, auch die Summe unabhängig von X ist, oder ob es überhaupt gilt, weil dann ist die aufgabe ja relativ klar, wenn ich weiß, dass die summe ~B(X,p) verteilt ist
LG
Katze_91
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Hiho,
> Hi meine frage ist, wie ich beweise, dass, wenn die
> Summanden unabhängig von X sind, auch die Summe
> unabhängig von X ist, oder ob es überhaupt gilt
Im Allgemeinen gilt das natürlich nicht, die Summe hängt ja offensichtlich von X ab, da es der obere Summationsindex ist
> weil dann ist die aufgabe ja relativ klar, wenn ich weiß, dass
> die summe ~B(X,p) verteilt ist
Die Summe ist auch so klar!
Aber Schritt für Schritt: Wie ist S verteilt? Nutze dafür, dass X unabhängig von ALLEN [mm] Y_i [/mm] ist und du die Summe umschreiben kannst in:
$ [mm] S:=\summe_{i=1}^{X} Y_i [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^\infty 1_{\{X=n\}} \summe_{i=1}^{n} Y_i$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Sa 07.07.2012 | | Autor: | Katze_91 |
hi^^
wir haben gezeigt, dass wenn ich [mm] Y_i [/mm] iid habe und die B(1,p) sind, dass dann [mm] \summe_{i=1}^{n} Y_i [/mm] ~B(n,p) ist, ich dachte dann könnte ich einfach folgern, dass S ~ B(X,p) verteilt ist... stimmt das nicht?
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Hiho,
> wir haben gezeigt, dass wenn ich [mm]Y_i[/mm] iid habe und die
> B(1,p) sind, dass dann [mm]\summe_{i=1}^{n} Y_i[/mm] ~B(n,p) ist,
Jo.
> ich dachte dann könnte ich einfach folgern, dass S ~
> B(X,p) verteilt ist... stimmt das nicht?
Was soll denn B(X,p) sein? X ist doch ne Zufallsvariable und kein Wert aus den natürlichen Zahlen!
Aber deinen Satz brauchst du trotzdem, wenn du die gemeinsame Verteilung berechnen will, das ist ja gerade:
P(X = n, S = k)
Verwende nun den Tip von mir und die Unabhängigkeit, dann stehts eigentlich schon fast da.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Sa 07.07.2012 | | Autor: | Katze_91 |
Wenn die zufallsvariable Poissonverteilt ist, dann nehm ich doch an, dass sie nur werte aus den natürlichen zahlen annimmt oder?
aber okay
ich seh ja ein, dass
[mm] S:=\summe_{i=1}^{X} Y_i [/mm] = [mm] (\summe_{n=0}^\infty 1_{\{X=n\}} )(\summe_{i=1}^{n} Y_i)
[/mm]
aber ich weiß ehrlich gesagt nicht, was mich das weiter bringt,
S ist doch von X abhängig, wie kann ich da den jetzt die gemeinsame Verteilung ausrechnen?
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Hiho,
> Wenn die zufallsvariable Poissonverteilt ist, dann nehm ich
> doch an, dass sie nur werte aus den natürlichen zahlen annimmt oder?
Ja. Und wenn du dir da unsicher bist, nacharbeiten! Sowas sollte man wissen,
> [mm]S:=\summe_{i=1}^{X} Y_i[/mm] = [mm](\summe_{n=0}^\infty 1_{\{X=n\}} )(\summe_{i=1}^{n} Y_i)[/mm]
>
> aber ich weiß ehrlich gesagt nicht, was mich das weiter
> bringt, S ist doch von X abhängig, wie kann ich da den jetzt die
> gemeinsame Verteilung ausrechnen?
Jaha, das Tolle ist ja nun: Bei der Berechnung der gemeinsamen Verteilung hat X selbst ja auch einen Wert, den kannst du doch einsetzen 
Schreibs doch mal hin, bisher hast du noch nicht einmal die gemeinsame Verteilung hingeschrieben.
Ohne wird das nix!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 So 08.07.2012 | | Autor: | Katze_91 |
der Tip bringt mich jetzt nicht wirklich weiter
was meinst du den jetzt mit gemeinsamer verteilung? die will ich doch gerade haben
[mm] S=(\summe_{n=0}^\infty 1_{\{X=n\}} )(\summe_{i=1}^{n} Y_i) [/mm]
[mm] F_S(s)= [/mm] P(S [mm] \le [/mm] s) [mm] =P((\summe_{n=0}^\infty 1_{\{X=n\}} )(\summe_{i=1}^{n} Y_i) \le [/mm] s)
ja....
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Hiho,
> der Tip bringt mich jetzt nicht wirklich weiter
> was meinst du den jetzt mit gemeinsamer verteilung? die
> will ich doch gerade haben
Ja, dann berechne sie doch direkt. Schreib die doch mal hin, dann stehts doch faktisch schon da.....
[mm] \IP(X [/mm] = n, S=k) = [mm] \IP\left(X=n,\summe_{i=1}^{X} Y_i = k\right) [/mm] = [mm] \IP\left(X=n,\summe_{i=1}^{n} Y_i = k\right)$
[/mm]
So, nun die Unabhängigkeit benutzen und du bist (fast) fertig.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:33 So 08.07.2012 | | Autor: | Katze_91 |
ja, soweit war ich vorhin (auf dem papier) ja eigentlich auch schon :), und hier kam ja meine frage, ob das jetzt immer noch unabhängig ist, bzw. wie ich das beweise, dass die summe der [mm] Y_i [/mm] von i bis n noch unabhängig von X ist (intuitiv ist das klar, aber in stochastik soll man ja nicht raten)
weil dann hab ich ja
[mm] \IP\left(X=n,\summe_{i=1}^{n} Y_i = k\right) =P(X=n)P(\summe_{i=1}^{n} Y_i [/mm] = k)
[mm] =\bruch{\lambda^n}{n!}exp(-\lambda)*\vektor{n\\k}p^k(1-p)^{n-k}
[/mm]
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Hiho,
> ja, soweit war ich vorhin (auf dem papier) ja eigentlich
> auch schon :), und hier kam ja meine frage, ob das jetzt
> immer noch unabhängig ist, bzw. wie ich das beweise, dass
> die summe der [mm]Y_i[/mm] von i bis n noch unabhängig von X ist
Ja, da jedes [mm] Y_i [/mm] unabhängig von X ist.
Und du musst das ja gar nicht für die Summe direkt beweisen, sondern nur für zwei.
D.h. sei [mm] Y_1 [/mm] und [mm] Y_2 [/mm] unabhängig von X, dann auch [mm] $Y_1 [/mm] + [mm] Y_2$.
[/mm]
Wobei ich nicht davon ausgehe, dass du das beweisen musst
MFG,
Gono.
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ja, ich glaub auch nicht, dass ich das zeigen müsste, aber ich würde es halt gerne
gibt es den einen tipp das leicht zu zeigen, ausser, dass ich zeige, dass wenn X zu A, B unabhängig ist, dass dann X zu (A,B) unabhängig ist und wenn ich dann eine messbare funktion drauf haue, auch X zu f(A,B) unabhängig ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Mo 09.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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