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Hallo nochmal, leider hab ich noch mehrere Fragen, da ich längere Zeit krank war und leider grad mit dem Stoff nicht hinterherkomme.
Ich hoffe wirklich, dass ich hier keinen belästige, aber ich wäre wirklich dankbar für jede Hilfe:
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1)
Zeigen sie die folgenden Gleichheiten:
a) [mm] \summe_{k=-n}^{n} k^{2n+1} [/mm] = 0
b) [mm] \summe_{k=1}^{n} k^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6} [/mm] n(n+1)(2n+1)
c) [mm] \summe_{k=1}^{n} \summe_{j=1}^{k} \bruch{j}{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] n(n+3)
Tipp: Versuchen sie neben der Induktion auch andere Beweisansätze, diese sind manchmal kürzer.
2) Allgemeine Potenzen
Berechnen Sie für eine beliebige Menge A die Menge
[mm] A^{ \Delta n} [/mm] = A [mm] \Delta [/mm] A [mm] \Delta [/mm] A ... [mm] \Delta [/mm] A
für die assoziative und kommutative Operation [mm] \Delta [/mm] :
A [mm] \Delta [/mm] B := (A \ B) [mm] \cup [/mm] (B \ A)
3) Binomialkoeffizienten
Zeigen Sie
[mm] \summe_{0 \le k \le n \le N}^{} \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] 2^{N+1} [/mm] - 1
Dabei läuft die Summe über alle Binomialkoeffizienten mit den Indizes n und k in den unter dem Summenzeichen angegebenen Grenzen.
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Also, ich weis, dass das echt viel ist, aber ich wäre wirklich dankbar für jede Hilfe.
Danke im Voraus...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Mario.braumueller,
welche eigenen Gedanken hast Du Dir denn schon zu den Aufgaben gemacht.
Hast Du bei 1. schonmal Zahlen für n eingesetzt und geschaut was passiert?
Hast Du bei 2. schonmal A [mm] \Delta [/mm] A bestimmt?
Weist Du was Induktion ist?
gruß
mathemaduenn
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Tut mir echt leid, aber ich komm nicht weiter,
Wenn ich bei 1: Zahlen einsetzte, dann kommt nicht das raus was rauskommen soll, und zum anderen soll ich es ja beweisen.
Bei 2. geht es ja um die symmetrische differenz.
Dann müsste ja A [mm] \Delta [/mm] A = [mm] \emptyset [/mm] sein, oder ?
Kann aber net sein da die Aufgabe dre Punkte gibt.
Und 3. verstreh ich leider überhaup net.
Bitte Hiiiiiiiiiiiiiiillllfeee!!!!
Bitte ich fleh euch an, wär echt super
Danke
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Hallo Mario,
> Dann müsste ja A [mm]\Delta[/mm] A = [mm]\emptyset[/mm] sein, oder ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Kann aber net sein da die Aufgabe dre Punkte gibt.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wieso kann das nicht sein aber natürlich musst Du noch weiterdenken. Was passiert denn wenn Du die symmetrische Differenz zwischen A und der leeren Menge bildest.
zu 1.
a) Es gibt immer 2 Summanden die sich auslöschen.
c) [mm] \summe_{i=1}^{k} i=\bruch{(k+1)k}{2}
[/mm]
Bei den anderen beiden fällt mir auch nur Induktion ein.
gruß
mathemaduenn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:16 So 14.11.2004 | | Autor: | Jane |
Hallo Mario,
versuch 1) doch einfach mal mit Induktion nach n. Da Du mit dem vorherigen Tipp, einfach mal Zahlen einzusetzen, nichts anfangen konntest, vermute ich, dass Du nicht für n eingesetzt hast. Versuch das doch nochmal, damit Dir auch klar ist, was Du eigentlich tun willst. Und dann setzt Du z.B. n = 1 als Induktionsanfang. Und dann schließt Du von n bel. aber fest auf n+1. Versuche dazu die Aussage für n+1 in ein Produkt oder Summe umzuformen, so dass Du die INduktionsvoraussetzung für n einsetzen kannst.
Für 3) gilt selbiges. Binomialkoeffizienten ausschreiben als n!/(k!*(n-k)!) und dann Induktion nach n machen.
Viele Grüße,
Christiane
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Hey super danke,
jetzt hab ichs endlich gecheckt.
Vielen Dank nochmal
Gruß Mario
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