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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Di 21.02.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Betrachte die beiden Teilräume von [mm] \IR^4:
[/mm]
[mm] W=<\vektor{1\\ 1\\0\\0},\vektor{2\\ 3\\0\\0}>und
[/mm]
[mm] W'=<\vektor{1\\ -1\\2\\5},\vektor{-1\\ 1\\1\\3}>
[/mm]
Zeigen [mm] \IR^4=W \oplus [/mm] W' |
W [mm] \cap [/mm] W' [mm] =\{0\} [/mm] hab ich gezeigt
W= [mm] \{ \lambda_1 * \vektor{1\\ 1\\0\\0} + \lambda_2 *\vektor{2\\ 3\\0\\0}| \lambda_1 , \lambda_2 \in \IR \}
[/mm]
W'= [mm] \{ s_1 * \vektor{1\\ -1\\2\\5} + s_2 *\vektor{-1\\ 1\\1\\3}| s_1 , s_2 \in \IR \}
[/mm]
Ich hänge aber bei W + W'= [mm] \IR^4
[/mm]
Sei [mm] \vektor{x\\ y\\z\\a} \in \IR^4 [/mm] beliebig
[mm] ZZ.:\vektor{x\\ y\\z\\a} =\vektor{\lambda_1 + 2\lambda_2\\ \lambda_1 +3\lambda_2\\0\\0} [/mm] + [mm] \vektor{s_1 - s_2\\ -s_1 + s_2\\2s_1 + s_2\\5s_1 + 3s_2} [/mm] wobei
[mm] \vektor{\lambda_1 + 2\lambda_2\\ \lambda_1 +3\lambda_2\\0\\0} \in [/mm] W
[mm] \vektor{s_1 - s_2\\ -s_1 + s_2\\2s_1 + s_2\\5s_1 + 3s_2} \in [/mm] W'
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Di 21.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst nur zeigen, dass die 4 Vektoren lin unabhängig sind, denn dann spannen sie ja [mm] \IR^4 [/mm] auf.
wie hast du denn W $ [mm] \cap [/mm] $ W' $ [mm] =\{0\} [/mm] $ gezeigt?
Gruss leduart
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> Betrachte die beiden Teilräume von [mm]\IR^4:[/mm]
> [mm]W=<\vektor{1\\
1\\
0\\
0},\vektor{2\\
3\\
0\\
0}>und[/mm]
>
> [mm]W'=<\vektor{1\\
-1\\
2\\
5},\vektor{-1\\
1\\
1\\
3}>[/mm]
> Zeigen
> [mm]\IR^4=W \oplus[/mm] W'
> W [mm]\cap[/mm] W' [mm]=\{0\}[/mm] hab ich gezeigt
Hallo,
offensichtlich haben W und W' beide die Dimension 2.
Nach der Dimensionsformel [mm] \dim\left(V_1+V_2\right)=\dim V_1 [/mm] + [mm] \dim V_2 [/mm] - [mm] \dim\left(V_1\cap V_2\right) [/mm] ,
[mm] (V_1 [/mm] und [mm] V_2 [/mm] sind hier Unterräume eines VRes V),
erhältst Du, daß dim(W+W')=4.
Wenn Du nun bedenkst, daß W+W' ein UVR vom [mm] \IR^4 [/mm] ist, bist Du fertig.
Um aber auch noch auf Deine völlig richtige Lösungsidee einzugehen:
> W= [mm]\{ \lambda_1 * \vektor{1\\
1\\
0\\
0} + \lambda_2 *\vektor{2\\
3\\
0\\
0}| \lambda_1 , \lambda_2 \in \IR \}[/mm]
>
> W'= [mm]\{ s_1 * \vektor{1\\
-1\\
2\\
5} + s_2 *\vektor{-1\\
1\\
1\\
3}| s_1 , s_2 \in \IR \}[/mm]
>
> Ich hänge aber bei W + W'= [mm]\IR^4[/mm]
> Sei [mm]\vektor{x\\
y\\
z\\
a} \in \IR^4[/mm] beliebig
> [mm]ZZ.:\vektor{x\\
y\\
z\\
a} =\vektor{\lambda_1 + 2\lambda_2\\
\lambda_1 +3\lambda_2\\
0\\
0}[/mm] + [mm]\vektor{s_1 - s_2\\
-s_1 + s_2\\
2s_1 + s_2\\
5s_1 + 3s_2}[/mm]
Genau.
Du mußt nun die Parameter [mm] \lambda_1, \lambda_2, s_1, s_2 [/mm] in Abhängigkeit von x,y,z,a ausrechnen.
Gelingt Dir dies, so weißt Du, daß es [mm] \lambda_1, \lambda_2, s_1, [/mm] s_ gibt, mit denen Du [mm] \vektor{x\\y\\z\\a} [/mm] als Linearkombination der 4 Vektoren von oben schreiben kannst.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:26 Mi 22.02.2012 | | Autor: | sissile |
Danke für die vielen Lösungsmöglichkeiten.
> offensichtlich haben W und W' beide die Dimension 2.
weil z.B [mm] \vektor{1\\ 1\\0\\0}und \vektor{2\\ 3\\0\\0} [/mm] Basen von W sind?
Trotzdem interessiert mich grade die, die ich nicht selbst hinbekomme!
> Du mußt nun die Parameter $ [mm] \lambda_1, \lambda_2, s_1, s_2 [/mm] $ in Abhängigkeit von x,y,z,a ausrechnen.
Wie finde ich die Paramteter?
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> Danke für die vielen Lösungsmöglichkeiten.
> > offensichtlich haben W und W' beide die Dimension 2.
> weil z.B [mm]\vektor{1\\
1\\
0\\
0}und \vektor{2\\
3\\
0\\
0}[/mm]
> Basen von W sind?
Hallo,
Du mußt unbedingt an den Grundlagen arbeiten bzw. Dich präzise ausdrücken, sonst verwirrst Du Dich nur selber.
Die beiden Vektoren bilden gemeinsam eine Basis vom W, und Du solltest auch wissen, warum.
Die beiden Vektoren sind keine Basen, sondern Basisvektoren.
Basen von W wären z.B. [mm] \{\vektor{1\\ 1\\0\\0}, \vektor{2\\ 3\\0\\0} \}, \{\vektor{3\\ 4\\0\\0}, \vektor{1\\ 2\\0\\0} \} [/mm] und [mm] \{\vektor{5\\ 8\\0\\0}, \vektor{3\\ 5\\0\\0} \}. [/mm]
>
> Trotzdem interessiert mich grade die, die ich nicht selbst
> hinbekomme!
>
> > Du mußt nun die Parameter [mm]\lambda_1, \lambda_2, s_1, s_2[/mm]
> in Abhängigkeit von x,y,z,a ausrechnen.
> Wie finde ich die Paramteter?
Indem Du
> > > $ [mm] ZZ.:\vektor{x\\ y\\z\\a} =\vektor{\lambda_1 + 2\lambda_2\\ \lambda_1 +3\lambda_2\\0\\0} [/mm] $ + $ [mm] \vektor{s_1 - s_2\\ -s_1 + s_2\\2s_1 + s_2\\5s_1 + 3s_2} [/mm] $
als LGS schreibst und nach den 4 Variablen [mm] \lambda_i [/mm] und [mm] s_i [/mm] auflöst.
x,y,z,a sind hierbei keine Variablen, sondern wie irgendwelche Zahlen zu behandeln.
LG Angela
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