Summen berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Mi 22.09.2010 | | Autor: | mvs |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Summen:
[mm] i)\summe_{l=1}^{2005}2l
[/mm]
[mm] ii)\summe_{k=-2}^{2004}3^{k}
[/mm]
[mm] iii)\summe_{k=-1}^{20}\vektor{20 \\ k+2}*3^{20-k}
[/mm]
[mm] iv)\summe_{l=1}^{2005}\summe_{k=-2}^{2004}(2l+3^{k})
[/mm]
[mm] v)\summe_{l=0}^{15}\summe_{k=-1}^{20}\vektor{20 \\ k+2}*3^{20-k+l} [/mm] |
Hallo, ich hab mal versucht diese Summen zu berechnen, bin mir aber nicht sicher, ob das alles so richtig is, daher meine Bitte, ob das jemand korrigieren könnte. Vorab, es ist nicht verlangt, dass wir die Summen komplett ausrechnen, dass nachher utopisch hohe Zahlen herauskommen.
[mm] i)\summe_{l=1}^{2005}2l=2*\summe_{l=1}^{2005}l=2*\bruch{2005}{2}*2006=2005*2006
[/mm]
[mm] ii)\summe_{k=-2}^{2004}3^{k}=\summe_{k=0}^{2006}3^{k-2}=\summe_{k=0}^{2006}3^{k}*3^{-2}=\bruch{1}{9}*\summe_{k=0}^{2006}3^{k}=\bruch{1}{9}*3^{0}*\bruch{3^{2007}-3^{0}}{3^{1}-3^{0}}=\bruch{1}{9}*\bruch{3^{2007}-1}{3-1}=\bruch{1}{9}*\bruch{3^{2007}-1}{2}
[/mm]
[mm] iii)\summe_{k=-1}^{20}\vektor{20 \\ k+2}*3^{20-k}=\summe_{k=1}^{22}\vektor{20 \\ k}*3^{22-k}=\summe_{k=1}^{22}\vektor{20 \\ k}*3^{22-k}*1^{k}=\summe_{k=0}^{22}\vektor{20 \\ k}*3^{22-k}*1^{k}-\summe_{k=0}^{0}\vektor{20 \\ k}*3^{22-k}*1^{k}=4^{22}-3^{22}
[/mm]
[mm] iv)\summe_{l=1}^{2005}\summe_{k=-2}^{2004}(2l+3^{k})=\summe_{l=1}^{2005}\summe_{k=-2}^{2004}2l+\summe_{l=1}^{2005}\summe_{k=-2}^{2004}3^{k}=\summe_{l=1}^{2005}2\summe_{k=-2}^{2004}l+\summe_{l=1}^{2005}\bruch{1}{9}*\bruch{3^{2007}-1}{2}=\summe_{l=1}^{2005}*2*2005+2005*\bruch{1}{9}*\bruch{3^{2007}-1}{2}=2005*2*2005+2005*\bruch{1}{9}*\bruch{3^{2007}-1}{2}
[/mm]
[mm] v)\summe_{l=0}^{15}\summe_{k=-1}^{20}\vektor{20 \\ k+2}*3^{20-k+l}=\summe_{l=0}^{15}\summe_{k=-1}^{20}\vektor{20 \\ k+2}*3^{20-k}*3^{l}=\summe_{l=0}^{15}3^{l}\summe_{k=-1}^{20}\vektor{20 \\ k+2}*3^{20-k}==\summe_{l=0}^{15}3^{l}*(4^{22}-3^{22})=3^{0}*\bruch{3^{16}-3^{0}}{3^{1}-3^{0}}*(4^{22}-3^{22})=\bruch{3^{16}-1}{2}*(4^{22}-3^{22})
[/mm]
Vielen Dank im voraus.
Gruss,
mvs
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Hallo mvs,
> Berechnen Sie folgende Summen:
>
> [mm]i)\summe_{l=1}^{2005}2l[/mm]
>
> [mm]ii)\summe_{k=-2}^{2004}3^{k}[/mm]
>
> [mm]iii)\summe_{k=-1}^{20}\vektor{20 \\
k+2}*3^{20-k}[/mm]
>
> [mm]iv)\summe_{l=1}^{2005}\summe_{k=-2}^{2004}(2l+3^{k})[/mm]
>
> [mm]v)\summe_{l=0}^{15}\summe_{k=-1}^{20}\vektor{20 \\
k+2}*3^{20-k+l}[/mm]
>
> Hallo, ich hab mal versucht diese Summen zu berechnen, bin
> mir aber nicht sicher, ob das alles so richtig is, daher
> meine Bitte, ob das jemand korrigieren könnte. Vorab, es
> ist nicht verlangt, dass wir die Summen komplett
> ausrechnen, dass nachher utopisch hohe Zahlen
> herauskommen.
>
> [mm]i)\summe_{l=1}^{2005}2l=2*\summe_{l=1}^{2005}l=2*\bruch{2005}{2}*2006=2005*2006[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]ii)\summe_{k=-2}^{2004}3^{k}=\summe_{k=0}^{2006}3^{k-2}=\summe_{k=0}^{2006}3^{k}*3^{-2}=\bruch{1}{9}*\summe_{k=0}^{2006}3^{k}=\bruch{1}{9}*3^{0}*\bruch{3^{2007}-3^{0}}{3^{1}-3^{0}}=\bruch{1}{9}*\bruch{3^{2007}-1}{3-1}=\bruch{1}{9}*\bruch{3^{2007}-1}{2}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Mi 22.09.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
iii)
Hier musst du beim letzten Schritt noch etwas mehr machen. Weil [mm] \vektor{20 \\ 21}=\vektor{20 \\ 22}=0, [/mm] kannst du die letzten beiden Summanden in der 1. Summe streichen.
[mm] \summe_{k=0}^{22}\vektor{20 \\ k}3^{22-k}1^k=\summe_{k=0}^{20}\vektor{20 \\ k}3^{22-k}1^k. [/mm] Nun musst du noch, bevor du den binomischen Lehrsatz anwenden kannst, eine 20-k in den Exponenten der 3 zaubern.
iv)
Die rechte Summe ist bis zum Ende hin richtig. Bei der linken verschwindet da einmal das l, da musst du nochmal nachrechnen.
v)
Wegen iii) musst du da auch nochmal etwas ändern.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Mi 22.09.2010 | | Autor: | mvs |
Hallo, vielen Dank für die Antworten.
Hier meine neuen Lösungsvorschläge:
[mm] iii)\summe_{k=-1}^{20}\vektor{20 \\ k+2}\cdot{}3^{20-k}=\summe_{k=1}^{22}\vektor{20 \\ k}\cdot{}3^{22-k}=\summe_{k=1}^{22}\vektor{20 \\ k}\cdot{}3^{22-k}\cdot{}1^{k}=\summe_{k=0}^{20}\vektor{20 \\ k}\cdot{}3^{20-k}*3^{2} \cdot{}1^{k}-\summe_{k=0}^{0}\vektor{20 \\ k}\cdot{}3^{22-k}\cdot{}1^{k}=9*4^{20}-3^{22}
[/mm]
v)neues Ergebnis: [mm] \bruch{3^{16}-1}{2}\cdot{}(9*4^{20}-3^{22})
[/mm]
iv) hab ich nun nochmals gerechnet und bin wieder auf das Ergebnis gekommen, ich weiß nicht, was dort der Fehler ist bzw. welche "1" gemeint ist.
Gruß,
mvs
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Hallo mvs,
> Hallo, vielen Dank für die Antworten.
>
> Hier meine neuen Lösungsvorschläge:
>
> [mm]iii)\summe_{k=-1}^{20}\vektor{20 \\ k+2}\cdot{}3^{20-k}=\summe_{k=1}^{22}\vektor{20 \\ k}\cdot{}3^{22-k}=\summe_{k=1}^{22}\vektor{20 \\ k}\cdot{}3^{22-k}\cdot{}1^{k}=\summe_{k=0}^{20}\vektor{20 \\ k}\cdot{}3^{20-k}*3^{2} \cdot{}1^{k}-\summe_{k=0}^{0}\vektor{20 \\ k}\cdot{}3^{22-k}\cdot{}1^{k}=9*4^{20}-3^{22}[/mm]
Stimmt.
>
> v)neues Ergebnis:
> [mm]\bruch{3^{16}-1}{2}\cdot{}(9*4^{20}-3^{22})[/mm]
Stimmt auch.
>
> iv) hab ich nun nochmals gerechnet und bin wieder auf das
> Ergebnis gekommen, ich weiß nicht, was dort der Fehler ist
> bzw. welche "1" gemeint ist.
Poste doch dazu Deine Rechenschritte.
>
> Gruß,
> mvs
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Mi 22.09.2010 | | Autor: | mvs |
danke MathePower für deine Antwort.
Hier die Rechenschritte zu iv):
[mm] \summe_{l=1}^{2005}\summe_{k=-2}^{2004}(2l+3^{k})=\summe_{l=1}^{2005}\summe_{k=-2}^{2004}2l+\summe_{l=1}^{2005}\summe_{k=-2}^{2004}3^{k}=\summe_{l=1}^{2005}2\summe_{k=-2}^{2004}l+\summe_{l=1}^{2005}\bruch{1}{9}\cdot{}\bruch{3^{2007}-1}{2}=\summe_{l=1}^{2005}\cdot{}2\cdot{}2005+2005\cdot{}\bruch{1}{9}\cdot{}\bruch{3^{2007}-1}{2}=2005\cdot{}2\cdot{}2005+2005\cdot{}\bruch{1}{9}\cdot{}\bruch{3^{2007}-1}{2}
[/mm]
Gruß,
mvs
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Hallo mvs,
das hakt nur einer Stelle:
[mm] \summe_{l=1}^{2005}\summe_{k=-2}^{2004}(2l+3^{k})=\summe_{l=1}^{2005}\summe_{k=-2}^{2004}2l+\summe_{l=1}^{2005}\summe_{k=-2}^{2004}3^{k}=\summe_{l=1}^{2005}2\summe_{k=-2}^{2004}l+\summe_{l=1}^{2005}\bruch{1}{9}\cdot{}\bruch{3^{2007}-1}{2}=
[/mm]
Bis hier stimmt's, auch wenn ich zur Sicherheit noch Klammern setzen würde:
[mm] =\summe_{l=1}^{2005}\left(2\summe_{k=-2}^{2004}l\right)+\summe_{l=1}^{2005}\bruch{1}{9}\cdot{}\bruch{3^{2007}-1}{2}=
[/mm]
und genau da ist der Fehler im nächsten Schritt. Es ist [mm] \summe_{k=-2}^{2004}l=2007*l
[/mm]
Du aber rechnest an dieser Stelle mit dem Summenwert 2005 weiter, der einen gleich doppelten Denkfehler enthält.
Alles klar?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Fr 24.09.2010 | | Autor: | mvs |
danke reverend für deine Antwort.
Bin nun zu folgende Ergebnis gekommen:
[mm] \summe_{l=1}^{2005}\summe_{k=-2}^{2004}(2l+3^{k})=\summe_{l=1}^{2005}\summe_{k=-2}^{2004}2l+\summe_{l=1}^{2005}\summe_{k=-2}^{2004}3^{k}=\summe_{l=1}^{2005}(2\summe_{k=-2}^{2004}l)+\summe_{l=1}^{2005}\bruch{1}{9}*\bruch{3^{2007}-1}{2}=\summe_{l=1}^{2005}(2*(2004-(-2)+1)+\summe_{l=1}^{2005}\bruch{1}{9}*\bruch{3^{2007}-1}{2}=\summe_{l=1}^{2005}2*2007l+\summe_{l=1}^{2005}\bruch{1}{9}*\bruch{3^{2007}-1}{2}=2*2007\summe_{l=1}^{2005}l+2005*\bruch{1}{9}*\bruch{3^{2007}-1}{2}=2*2007*\bruch{2005}{2}*(1+2005)+2005*\bruch{1}{9}*\bruch{3^{2007}-1}{2}=2005*2006*2007+2005*\bruch{1}{9}*\bruch{3^{2007}-1}{2}
[/mm]
ist das nun soweit richtig?
Vielen Dank im voraus.
Gruß,mvs
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Hallo mvs,
> danke reverend für deine Antwort.
>
> Bin nun zu folgende Ergebnis gekommen:
>
> [mm]\summe_{l=1}^{2005}\summe_{k=-2}^{2004}(2l+3^{k})=\summe_{l=1}^{2005}\summe_{k=-2}^{2004}2l+\summe_{l=1}^{2005}\summe_{k=-2}^{2004}3^{k}=\summe_{l=1}^{2005}(2\summe_{k=-2}^{2004}l)+\summe_{l=1}^{2005}\bruch{1}{9}*\bruch{3^{2007}-1}{2}=\summe_{l=1}^{2005}(2*(2004-(-2)+1)+\summe_{l=1}^{2005}\bruch{1}{9}*\bruch{3^{2007}-1}{2}=\summe_{l=1}^{2005}2*2007l+\summe_{l=1}^{2005}\bruch{1}{9}*\bruch{3^{2007}-1}{2}=2*2007\summe_{l=1}^{2005}l+2005*\bruch{1}{9}*\bruch{3^{2007}-1}{2}=2*2007*\bruch{2005}{2}*(1+2005)+2005*\bruch{1}{9}*\bruch{3^{2007}-1}{2}=2005*2006*2007+2005*\bruch{1}{9}*\bruch{3^{2007}-1}{2}[/mm]
>
> ist das nun soweit richtig?
Ja.
>
> Vielen Dank im voraus.
>
> Gruß,mvs
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Fr 24.09.2010 | | Autor: | mvs |
danke Mathepower
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