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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Mo 13.06.2011 | | Autor: | Zooomy |
Hallo Forum!
Ich muss aus Summen exponentialfunktionen bilden und ich komme dabei auf keinen grünen Zweig und hoffe mir keinhier jemand helfen.
Es gilt ja allgemein:
[mm] e^x=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}=1+x+\bruch{x^2}{2}+\bruch{x^3}{6}+...
[/mm]
Soweit so gut!
Nun habe ich folgende vier Reihen und muss daraus die passende e-Funktion bilden und ich komme nicht drauf:
1.) 1 + 0 - [mm] \bruch{t^2}{2} [/mm] + [mm] 2\*\bruch{t^3}{6} [/mm] - [mm] 3\*\bruch{t^4}{24}+\dots
[/mm]
2.) -t + [mm] 2\*\bruch{t^2}{2} [/mm] - [mm] 3\*\bruch{t^3}{6} [/mm] + [mm] 4\*\bruch{t^4}{24}+\dots
[/mm]
3.) t - [mm] 2\*\bruch{t^2}{2} [/mm] + [mm] 3\*\bruch{t^3}{6} [/mm] - [mm] 4\*\bruch{t^4}{24}+\dots
[/mm]
4.) 1 - [mm] 2\*t [/mm] + [mm] 3\*\bruch{t^2}{2} [/mm] - [mm] 4\*\bruch{t^3}{6} [/mm] + [mm] 5\*\bruch{t^4}{24}+\dots
[/mm]
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte. Beziehungsweise mir den Lösungsansatz/weg zeigen könnte.
Vielen Dank schon mal
(Fürs Cross-Posting:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Mo 13.06.2011 | | Autor: | sangham |
Hallo, ich schreibe mal, was ich Dir zu 4. sagen kann, dass könnte zumindest ein Ansatz sein, ja?
> 4.) 1 - [mm]2\*t[/mm] + [mm]3\*\bruch{t^2}{2}[/mm] - [mm]4\*\bruch{t^3}{6}[/mm] +
> [mm]5\*\bruch{t^4}{24}+\dots[/mm]
das ist
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(k+1)\bruch{t^k}{k!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{t^k}{k!} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}k\bruch{t^k}{k!}
[/mm]
wobei das k+1 aufgelöst wurde
= [mm] e^{-t} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}t\bruch{t^{k-1}}{(k-1)!}
[/mm]
= [mm] e^{-t} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k+1}t\bruch{t^{k}}{k!}
[/mm]
= [mm] e^{-t} [/mm] - t [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\bruch{t^{k}}{k!}
[/mm]
wobei im 2. Summanden -t ausgeklammert wurde
= [mm] e^{-t} [/mm] - t [mm] e^{-t}
[/mm]
[mm] =(1-t)e^{-t}
[/mm]
Ich hoffe es stimmt so und es sind keine Flüchtigkeitsfehler drin...
zu 1.) als Tipp
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k+1}(k-1)\bruch{t^{k}}{k!}
[/mm]
So, ich denke, die Idee sollte klar sein... Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 So 26.06.2011 | | Autor: | Zooomy |
Vielen Danke für die Antwort!
Wenn auch etwas spät, möchte ich jetzt noch meine Lösungen zu den drei anderen Reihen schreiben. Das Prinzip hat mir aufjedenfall genau so geholfen.
1.)
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\bruch{t^n}{n!}-t=-e^{-t}-t
[/mm]
2.)
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^nn\bruch{t^n}{n!}=t\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n\bruch{(t-1)^n}{(n-1)!}=-t*e^{-t}
[/mm]
3.)
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}n\bruch{t^n}{n!}=...=t*e^{-t}
[/mm]
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