Summenberechnung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:50 Do 24.01.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Berechne folgende Summen:
a) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(\wurzel{n+2}-2\wurzel{n+1}+\wurzel{n}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{n}{(2n-1)^2(2n+1)^2}
[/mm]
c) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{n-\wurzel{n^2-1}}{\wurzel{n(n+1)}} [/mm] |
Bei Aufgabe a) hätte ich gedacht, ob man den Ausdruck nicht als binomische Formel schreiben kann...?
Bei Aufgabe b) habe ich den Nenner mal ausmultipliziert, aber das machte die Sache nur viel schwieriger.
Mein Problem ist, dass wir bis jetzt nur Aufgaben hatten, bei welchen wir einfach bestimmen mussten, ob die Reihe konvergiert oder nicht.
Aber wir mussten niemals die Reihe berechnen.
Wie geht man da am besten vor?
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Hallo jokerose!
Du kannst diese Summe wie folgt zerlegen und erhältst damit eine (bzw. zwei) sogenannte Teleskopsummen:
[mm] $$\summe_{k=0}^{\infty}\left( \ \wurzel{n+2}-2*\wurzel{n+1}+\wurzel{n} \ \right)$$
[/mm]
$$= \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\left( \ \wurzel{n+2}-\wurzel{n+1}-\wurzel{n+1}+\wurzel{n} \ \right)$$
[/mm]
$$= \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\left( \ \wurzel{n+2}-\wurzel{n+1} \ \right)+\summe_{k=0}^{\infty}\left( \ -\wurzel{n+1}+\wurzel{n} \ \right)$$
[/mm]
$$= \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\left( \ \wurzel{n+2}-\wurzel{n+1} \ \right)-\summe_{k=0}^{\infty}\left( \ \wurzel{n+1}-\wurzel{n} \ \right)$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Do 24.01.2008 | | Autor: | jokerose |
Hallo roadrunner,
Vielen Dank für die tolle Antwort.
Dann ergibt diese Summe also -1?
Ich habe dann auch noch folgende Summe als Aufgabe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{5^{2k+1}}
[/mm]
Dies ist ja eine geometrische Summe also kann ich sie folgendermassen Umschreiben:
[mm] \bruch{1-(1/5)^{2n+3}}{1-(1/5)} [/mm] - 1/5
Für n gegen [mm] \infty [/mm] ist dies dann [mm] \bruch{1}{1-(1/5)} [/mm] - 1/5
Stimmt dies so?
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Hallo jokerose!
Du solltest diese Funktion erst umformen zu:
[mm] $$\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{5^{2k+1}} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{5^{2k}*5^1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{5}*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{\left(5^2\right)^k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{5}*\summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{25}\right)^k [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Do 24.01.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo jokerose!
> Dann ergibt diese Summe also -1?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das habe ich auch erhalten ...
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo jokerose!
Führe hier eine  Partialbruchzerlegung durch. Dann sollte auch wieder eine Teleskopsumme entstehen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Do 24.01.2008 | | Autor: | jokerose |
Für Aufgabe b) erhalte ich so 1/8. Ist dies korrekt?
Und bei Aufgabe c): kann man dies auch mit Partialbruchzerlegung lösen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Do 24.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu b) Rechenwege nachprüfen :ok ich selbst dein Aufgaben zu rechnen: keine Lust
zu c) nein, direkt in 2 Terme aufspalten, die Glieder für k und k+1 aufschreiben, Erleuchtung kommt.
Gruss leduart
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