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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Do 24.11.2011 | | Autor: | clemenum |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Man berechne $S:= \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k^2}.$
Sie können dazu alle möglichen Methoden aus der reellen Analysis einer Veränderlichen verwenden! |
Meine Idee:
Ich approximiere $f(x) = x^2,$ $-\pi\le x \le \pi$ durch eine Fourier-Reihe:
Da es sich offenbar um eine gerade Funktion handelt, kann ich die $b_n$ vernachlässigen.
Also berechne ich:
$a_n = \frac{1}{\pi} \cdot \int_{-\pi}^{\pi} x^2 cos(nx) dx = \frac{2(2n(cos(n\pi)\pi)}{n^3\pi} = \frac{4\cdot (-1)^n }{n^2} $
$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx = \frac{2 \pi ^2 }{3}$
Daraus folgt:
$f(x) = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n = 1 }^{\infty} \left( \frac{4(-1)^n } {n^2 }cos(nx) \right) = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n = 1 }^{\infty}\left ( \frac{(-1)^n } {n^2 }cos(nx) \right).$
Ich setze nun $x : = 2 \pi$ "rechts und links" und erhalte $4\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n = 1 }^{\infty} \left( \frac{(-1)^n } {n^2 }\cdot 1 \right). $
also $ S = \frac{11\pi^2} {12} $
Es entspricht aber nicht meinem vermutetet Wert von $0,822467...$
In der Fourierentwickung ist doch mein $S$ vorgekommen, warum stimmt dies nun nicht mit dem Ergebnis überein? Habe ich damit etwa eine Lücke in der Fouriertheorie entdeckt?!?!?
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Hallo clemenum,
> Man berechne [mm]S:= \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k^2}.[/mm]
>
> Sie können dazu alle möglichen Methoden aus der reellen
> Analysis einer Veränderlichen verwenden!
> Meine Idee:
> Ich approximiere [mm]f(x) = x^2,[/mm] [mm]-\pi\le x \le \pi[/mm] durch eine
> Fourier-Reihe:
>
> Da es sich offenbar um eine gerade Funktion handelt, kann
> ich die [mm]b_n[/mm] vernachlässigen.
> Also berechne ich:
> [mm]a_n = \frac{1}{\pi} \cdot \int_{-\pi}^{\pi} x^2 cos(nx) dx = \frac{2(2n(cos(n\pi)\pi)}{n^3\pi} = \frac{4\cdot (-1)^n }{n^2}[/mm]
>
> [mm]a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx = \frac{2 \pi ^2 }{3}[/mm]
> Daraus folgt:
> [mm]f(x) = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n = 1 }^{\infty} \left( \frac{4(-1)^n } {n^2 }cos(nx) \right) = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n = 1 }^{\infty}\left ( \frac{(-1)^n } {n^2 }cos(nx) \right).[/mm]
>
> Ich setze nun [mm]x : = 2 \pi[/mm] "rechts und links" und erhalte
> [mm]4\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n = 1 }^{\infty} \left( \frac{(-1)^n } {n^2 }\cdot 1 \right).[/mm]
>
> also [mm]S = \frac{11\pi^2} {12}[/mm]
>
> Es entspricht aber nicht meinem vermutetet Wert von
> [mm]0,822467...[/mm]
>
> In der Fourierentwickung ist doch mein [mm]S[/mm] vorgekommen, warum
> stimmt dies nun nicht mit dem Ergebnis überein? Habe ich
> damit etwa eine Lücke in der Fouriertheorie entdeckt?!?!?
>
[mm]x=2*\pi[/mm] darfst Du nicht einsetzen, da die Funktion [mm]x^{2}[/mm]
nur auf [mm] -\pi \le x \le \pi[/mm] definiert ist.
Setze x=0 ein, dann kommst Du auf das gewünschte Ergebnis.
Gruss
MathePower
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