Summenformel der Brüche < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Sa 17.10.2009 | | Autor: | FMX |
| Aufgabe | Berechnen Sie:
S(n) = [mm] \bruch{1}{1*2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2*3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3*4} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{n *(n + 1)}
[/mm]
für n=2,3,4.
Erraten Sie hieraus eine Summenformel für S(n), und beweisen sie dann Ihre Vermutung mit vollständoger Induktion. |
Hallo zusammen!
Ich hab viele Themen durchgesenen, aber ich hab keine mit dieser Aufgabe gesehen. Falls jemand wegen dieser Aufgabe hier eine Frage gestellt hat, bitte ich mich zu entschuldigen und nir auf drn zugehörigen Artikel hinzuweisen.
Jetzt zum Problem. Im Prinzip hab ich die Aufgabe theoretisch gemacht. Bloß im Induktionsschluss passt das Ergebnis mit meiner Vorüberlegung nicht zusammen.
hier was ich schon hab:
A(n) = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n *(n + 1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{(n + 1)}
[/mm]
Behauptung: [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN: [/mm] A(n)
Beweis:
(IA):
n=1
A(1) = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{(1 + 1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1 + 1)}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
also: A(1) ist wahr.
(IS):
Zu zeigen: A(n) = A(n+1)
A(n) = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n*(n + 1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{(n + 1)} [/mm] *
A(n+1) = [mm] \summe_{i=1}^{n+1} \bruch{1}{n*(n + 1)(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{n + 2} [/mm] **
Zeige ** unter Zuhilfenahme von *
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} \bruch{1}{n*(n + 1)} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n*(n + 1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(n+2)}
[/mm]
An der Stelle komme ich nicht weiter. Das Ergebniss stimmt mit ** nicht überein. Könnte mir jemand helfen den Fehler zu finden? Danke im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo FMX und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Berechnen Sie:
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> S(n) = [mm]\bruch{1}{1*2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2*3}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3*4}[/mm] +
> ... + [mm]\bruch{1}{n *(n + 1)}[/mm]
>
> für n=2,3,4.
>
> Erraten Sie hieraus eine Summenformel für S(n), und
> beweisen sie dann Ihre Vermutung mit vollständoger
> Induktion.
> Hallo zusammen!
>
> Ich hab viele Themen durchgesenen, aber ich hab keine mit
> dieser Aufgabe gesehen. Falls jemand wegen dieser Aufgabe
> hier eine Frage gestellt hat, bitte ich mich zu
> entschuldigen und nir auf drn zugehörigen Artikel
> hinzuweisen.
>
> Jetzt zum Problem. Im Prinzip hab ich die Aufgabe
> theoretisch gemacht. Bloß im Induktionsschluss passt das
> Ergebnis mit meiner Vorüberlegung nicht zusammen.
>
> hier was ich schon hab:
>
> A(n) = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n *(n + 1)}[/mm] =
> [mm]\bruch{n}{(n + 1)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Du musst mit der Indizierung aufpassen! An der Summe steht der Laufindex i, die läuft bis n, aber n taucht auch in der Summe und noch schlimmer rechterhand auf ...
Nimm mal als Laufindex k:
Dann sieht deine Gleichung so aus:
$\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k\cdot{}(k+1)}=\frac{n}{n+1}$
Und das ist auch richtig!
Ein Standardtrick bei einem Produkt im Nenner einer gebr.-rat. Funktion, ist, mal eine Partialbruchzerlegung zu machen:
Ansatz: $\frac{1}{k\cdot{}(k+1)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}$
Damit kommst du schnell auf die Datstellung $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$
Also hast du $\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)$
Schreibe dir diese Summe mal ein bisschen aus und du siehst schnell ein, dass sich eine nette Teleskopsumme ergibt, in der sich bis auf den ersten und letzten alles andere weghebt.
Es bleibt: $\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$
Also muss man diese Darstellung nicht erraten, sondern kann sie sich herleiten.
Sie soll nun noch per Induktion (nach der oberen Laufgrenze, also n) bewiesen werden.
Die Aussage lautet somit: $\forall n\in\IN:\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$
Der Induktionsanfang ist klar, denn für $n=1$ steht linkerhand $\sum\limits_{k=1}^1\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1\cdot{}(1+1)}=\frac{1}{2}$
Und rechterhand $\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$
Passt also!
Nun versuche mal den Induktionsschritt $n\to n+1$
Gib dir ein beliebiges, aber festes $n\in\IN$ vor und nimm an, die Induktionsvoraussetzung gilt, also dass gilt:
$\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}$
Nun ist im eigentlichen Induktionsbeweis zu zeigen, dass unter dieser Voraussetzung gefälligst auch $\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n+1}{n+2}$ gilt
Diese Gleichheit ist zu zeigen.
Nimm dir dazu die linke Seite her, schreibe sie so um, dass du die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst und forme schließlich weiter um, bis die rechte Seite dasteht
$\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)}=\left(\sum\limits_{k=1}^n}\frac{1}{k(k+1)}\right)+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=....$
Nun aber ...
> Behauptung: [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN:[/mm] A(n)
> Beweis:
>
> (IA):
> n=1
> A(1) = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{(1 + 1)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{(1 + 1)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> also: A(1) ist wahr.
Das ist vom Prinzip her richtig, aber die falsche Indizierung macht dir alles kaputt!
>
> (IS):
> Zu zeigen: A(n) = A(n+1)
> A(n) = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n*(n + 1)}[/mm] =
> [mm]\bruch{n}{(n + 1)}[/mm] *
> A(n+1) = [mm]\summe_{i=1}^{n+1} \bruch{1}{n*(n + 1)(n+2)}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Indizierung und Nenner sind falsch: [mm] $A(n+1)=\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)}$
[/mm]
> [mm]\bruch{n+1}{n + 2}[/mm] **
>
> Zeige ** unter Zuhilfenahme von *
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1} \bruch{1}{n*(n + 1)}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n*(n + 1)}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{(n+1)(n+2)}[/mm]
>
> An der Stelle komme ich nicht weiter. Das Ergebniss stimmt
> mit ** nicht überein. Könnte mir jemand helfen den Fehler
> zu finden? Danke im Voraus!
Benutze meinen Hinweis oben mit der Umschreibung ...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Sa 17.10.2009 | | Autor: | FMX |
Vielen-vielen Dank! Jetzt hats geklappt! Ich werd nun mit der Indizierung vorsichtiger umgehen!
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