Summenformel für geom. Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Berechnen Sie die Summen der Reihen unter Verwendung der geometrischen Summenformeln.
d) [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{2 + (-1)^k}{5^k} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | c) [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \left[\bruch{1}{2^k} + \bruch{(-1)^k}{3^k} \right] [/mm] |
Hallo zusammen,
mein aktueller Stand: ich weiß, dass die Summenformel wie folgt lautet:
[mm] \bruch [/mm] S = [mm] \bruch{1}{1-q}
[/mm]
um sie anwenden zu können muss der Term in der folgenden Form vorliegen:
[mm] a_1 \cdot \sum_{k=1}^{\infty} q^{k-1}
[/mm]
Mein (ausführlicher) Weg ist also bis jetzt:
[mm] \begin{matrix}
\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{2 + (-1)^k}{5^k} \\
= \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{2}{5^k} + \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{5^k} \\
= 2 * \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{5^k} + \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{5^k} \\
= \bruch{2}{5} * \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{5^{k-1}} + \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{5^k} \\
= \bruch{2}{5} * \bruch{1}{1-\bruch{1}{5}} + \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{5^k} \\
= \bruch{2}{5} * \bruch{1}{1-\bruch{1}{5}} - \bruch{1}{5} \sum_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{5})^{k-1} \\
= \bruch{2}{4} - \bruch{1}{5} * \bruch{1}{1-\bruch{1}{5}} \\
= \bruch{2}{4} - \bruch{1}{5} * \bruch{5}{4} \\
= \bruch{2}{4} - \bruch{1}{4} \\
= \bruch{1}{4}
\end{matrix}
[/mm]
Als Lösung habe ich [mm] \bruch{1}{3} [/mm] angegeben. Ich wüsste gerne ob ich einen prinzipiellen Fehler bei der Anwendung der Summenformel mach oder mich "nur" irgendwo verrechnet habe. Insbesondere das alternierende Vorzeichen verunsichert mich.
Dank & Gruß
Dennis
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 So 01.04.2012 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie die Summen der Reihen unter Verwendung der
> geometrischen Summenformeln.
> d) [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{2 + (-1)^k}{5^k}[/mm]
Hallo,
den Term kannst du zerlegen in [mm] $2*(0,2)^k$ [/mm] und [mm] $(-0,2)^k$
[/mm]
Beachte noch, dass die Summation erst bei k=1 beginnt, also fehlt jeweils der erste Summand ...hoch 0. Man muss also in jeder Summe den fehlenden Summanden 1 subtrahieren.
Die vordere Summe ist 2*(1/(1-0,2)-1)=0,5 und die hintere Summe ist
1/(1-(-0,2))-1=-1/6.
Gruß Abakus
> c)
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \left[\bruch{1}{2^k} + \bruch{(-1)^k}{3^k} \right][/mm]
>
> Hallo zusammen,
> mein aktueller Stand: ich weiß, dass die Summenformel wie
> folgt lautet:
> [mm]\bruch[/mm] S = [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm]
> um sie anwenden zu können muss der Term in der folgenden
> Form vorliegen:
> [mm]a_1 \cdot \sum_{k=1}^{\infty} q^{k-1}[/mm]
>
> Mein (ausführlicher) Weg ist also bis jetzt:
> [mm]\begin{matrix} \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{2 + (-1)^k}{5^k} \\
= \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{2}{5^k} + \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{5^k} \\
= 2 * \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{5^k} + \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{5^k} \\
= \bruch{2}{5} * \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{5^{k-1}} + \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{5^k} \\
= \bruch{2}{5} * \bruch{1}{1-\bruch{1}{5}} + \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{5^k} \\
= \bruch{2}{5} * \bruch{1}{1-\bruch{1}{5}} - \bruch{1}{5} \sum_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{5})^{k-1} \\
= \bruch{2}{4} - \bruch{1}{5} * \bruch{1}{1-\bruch{1}{5}} \\
= \bruch{2}{4} - \bruch{1}{5} * \bruch{5}{4} \\
= \bruch{2}{4} - \bruch{1}{4} \\
= \bruch{1}{4} \end{matrix}[/mm]
>
> Als Lösung habe ich [mm]\bruch{1}{3}[/mm] angegeben. Ich wüsste
> gerne ob ich einen prinzipiellen Fehler bei der Anwendung
> der Summenformel mach oder mich "nur" irgendwo verrechnet
> habe. Insbesondere das alternierende Vorzeichen
> verunsichert mich.
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> Dank & Gruß
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> Dennis
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Vielen Dank für deine Ausführungen. Die Subtraktion von 1 irritiert mich etwas. Ich meine schon ein Gegenbeispiel gesehen zu haben wo dies nicht nötig war. Unglücklicherweise finde ich es gerade nicht!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Di 03.04.2012 | | Autor: | fred97 |
Für |q|<1 ist
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}q^k= \summe_{k=0}^{\infty}q^k -q^0=\bruch{1}{1-q}-1=\bruch{q}{1-q}
[/mm]
FRED
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