Summenwert zweier Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:08 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Mittels geeigneter Differentiationen von [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} x^k [/mm] ermittle man den Summenwert der folgenden Reihen:
(i) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] k [mm] x^k
[/mm]
(ii) [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} [/mm] k² [mm] x^k [/mm] |
ich hab versucht die reihe gleidweise abzuleiten:
[mm] (\summe_{k=0}^{ n} x^k)' [/mm] = (1+x+x²+x³ + ... [mm] +x^n)' [/mm] = 0+1+2x+3x²+...+n x ^{n-1} = [mm] \summe_{k=0}^{ n}k x^{k-1}
[/mm]
stimmt das soweit? nur leider hab ich keine idee wie ich damit die summenwerte der reihen herausbekommen kann??
wär echt super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Riley,
du mußt natürlich den Summenwert von $ [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} x^k$ [/mm] kennen, der bei einer solchen Aufgabenstellung üblicherweise im vorherigen Aufgabenblatt oder einer der letzten zwei bis drei Vorlesungen erörtert wurde.
Tschüß,
Stukkateur
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Riley |
hi Stukkateur,
danke für den schnellen tipp, ja den summenwert kenn ich sogar:
[mm] \bruch{1}{1-k}
[/mm]
... aber was ich jetzt wie differenzieren muss versteh ich noch nicht...
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Bonjour Riley,
tu as dit:
> ja den summenwert kenn ich sogar: [mm]\bruch{1}{1-k}[/mm]
Bist du ganz sicher? [Tipp: Wenn du über die abhängige Variable k summmierst, kann im Ergebnis kein k mehr drin stehen!]
Mit der richtigen Summe siehst du vermutlich sofort, was du differenzieren sollst...
wünscht
Stukkateur
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Riley |
salut Stukkateur, ;)
ooops... so ists wohl besser:
[mm] \bruch{1}{1-x}
[/mm]
hm, aber ich seh das noch nicht... , weil wenn ich das jetzt differenziere,
[mm] (\bruch{1}{1-x})' [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-x)²}
[/mm]
wie kann ich dann auf den summenwert der andren reihen schließen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 Mi 08.03.2006 | | Autor: | felixf |
> salut Stukkateur, ;)
> ooops... so ists wohl besser:
>
> [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm]
>
> hm, aber ich seh das noch nicht... , weil wenn ich das
> jetzt differenziere,
> [mm](\bruch{1}{1-x})'[/mm] = [mm]\bruch{1}{(1-x)²}[/mm]
> wie kann ich dann auf den summenwert der andren reihen
> schließen??
Nun, du faengst mit der Gleichheit [mm] $\frac{1}{1-x} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty x^k$ [/mm] an. Jetzt differenzierst du auf beiden Seiten; dann erhaelst du ja [mm] $\frac{1}{(1-x)^2} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty [/mm] k [mm] x^{k-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{x} \sum_{k=0}^\infty [/mm] k [mm] x^k$. [/mm] Jetzt solltest du es sehen, oder?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Feix!! danke dir vielmals *lichtaufgeh* ;)) das ist ja faszinierend...
d.h. ich muss nur noch das x auf die andere seite bringen und bekomm als lösung:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] k [mm] x^k [/mm] = [mm] \bruch{x}{(1-x)²}
[/mm]
stimmt das so?
und für Aufg (ii) muss ich dann das ganze nochmal differenzieren, oder?
also:
[mm] \bruch{2}{(1-x)³}=\summe_{k=0}^{\infty} [/mm] {k (k-1) [mm] x^{k-2} [/mm] }= [mm] \bruch{1}{x²}\summe_{k=0}^{\infty}{ (k²-k) x^k}= \bruch{1}{x²}\summe_{k=0}^{\infty}{ k² x^k}-\bruch{1}{x²}\summe_{k=0}^{\infty}{ k x^k}
[/mm]
für den letzten teil kann ich ja dann das ergebnis von (i) verwenden, auf die andre seite bringen und bekomm als summenwert:
[mm] \bruch{2x²}{(1-x)³} [/mm] + [mm] \bruch{x²}{x(1-x)²}
[/mm]
stimmt das soweit? das muss ich dann halt noch bissle vereinfachen...
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Ich glaube ihr habt einen kleinen Fehler gemacht: die Folge lautet laut Aufgabenstellung:
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] $ k $ [mm] x^k [/mm] $
nicht
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] $ k $ [mm] x^k [/mm] $ (k=1 nicht 0)
also ist:
$ [mm] \frac{1}{1-x} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty x^k [/mm] $
beide Seiten Ableiten:
$ [mm] \frac{1}{(1-x)^2} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty [/mm] k [mm] x^{k-1} [/mm] $
Tschuldigung Ergebniss ist doch nicht falsch da das erste Summenglied(k=0) = 0 ist.
=$ [mm] \bruch{1}{x}(0+\sum_{k=1}^\infty [/mm] k [mm] x^{k})$
[/mm]
=$ [mm] \bruch{1}{x}\sum_{k=1}^\infty [/mm] k [mm] x^{k}$
[/mm]
(ii) Stimmmt meiner Meinung nach bis auf das mit dem k macht aber nichts, da:
$ [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} [/mm] k² [mm] x^k [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} [/mm] k² [mm] x^k [/mm] $
ist aber nicht immer so: also aufpassen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Riley |
ah okay... vielen dank für deine korrektur! werd versuchen in zukunft darauf zu achten... danke sehr! ;)
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