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Forum "Folgen und Reihen" - Summenwert zweier Reihen
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Summenwert zweier Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:08 Mi 08.03.2006
Autor: Riley

Aufgabe
Mittels geeigneter Differentiationen von [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} x^k [/mm] ermittle man den Summenwert der folgenden Reihen:
(i) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] k [mm] x^k [/mm]
(ii) [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} [/mm] k² [mm] x^k [/mm]

ich hab versucht die reihe gleidweise abzuleiten:
[mm] (\summe_{k=0}^{ n} x^k)' [/mm] = (1+x+x²+x³ + ... [mm] +x^n)' [/mm] = 0+1+2x+3x²+...+n x ^{n-1} = [mm] \summe_{k=0}^{ n}k x^{k-1} [/mm]

stimmt das soweit? nur leider hab ich keine idee wie ich damit die summenwerte der reihen herausbekommen kann??
wär echt super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte...

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Summenwert zweier Reihen: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:22 Mi 08.03.2006
Autor: Stukkateur

Hallo Riley,

du mußt natürlich den Summenwert von $ [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} x^k$ [/mm] kennen, der bei einer solchen Aufgabenstellung üblicherweise im vorherigen Aufgabenblatt oder einer der letzten zwei bis drei Vorlesungen erörtert wurde.

Tschüß,
     Stukkateur    

Bezug
                
Bezug
Summenwert zweier Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:34 Mi 08.03.2006
Autor: Riley

hi Stukkateur,
danke für den schnellen tipp, ja  den summenwert kenn ich sogar:
[mm] \bruch{1}{1-k} [/mm]
... aber was ich jetzt wie differenzieren muss versteh ich noch nicht...

Bezug
                        
Bezug
Summenwert zweier Reihen: (Rück) ²frage
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:42 Mi 08.03.2006
Autor: Stukkateur

Bonjour Riley,

tu as dit:

>  ja  den summenwert kenn ich sogar: [mm]\bruch{1}{1-k}[/mm]

Bist du ganz sicher? [Tipp: Wenn du über die abhängige Variable k summmierst, kann im Ergebnis kein k mehr drin stehen!]

Mit der richtigen Summe siehst du vermutlich sofort, was du differenzieren sollst...

wünscht
    Stukkateur




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Bezug
Summenwert zweier Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:05 Mi 08.03.2006
Autor: Riley

salut Stukkateur, ;)
ooops...  so ists wohl besser:

[mm] \bruch{1}{1-x} [/mm]

hm, aber ich seh das noch nicht... , weil wenn ich das jetzt differenziere,
[mm] (\bruch{1}{1-x})' [/mm] =  [mm] \bruch{1}{(1-x)²} [/mm]
wie kann ich dann auf den summenwert der andren reihen schließen??

Bezug
                                        
Bezug
Summenwert zweier Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:43 Mi 08.03.2006
Autor: felixf


> salut Stukkateur, ;)
>  ooops...  so ists wohl besser:
>  
> [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm]
>  
> hm, aber ich seh das noch nicht... , weil wenn ich das
> jetzt differenziere,
> [mm](\bruch{1}{1-x})'[/mm] =  [mm]\bruch{1}{(1-x)²}[/mm]
>  wie kann ich dann auf den summenwert der andren reihen
> schließen??

Nun, du faengst mit der Gleichheit [mm] $\frac{1}{1-x} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty x^k$ [/mm] an. Jetzt differenzierst du auf beiden Seiten; dann erhaelst du ja [mm] $\frac{1}{(1-x)^2} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty [/mm] k [mm] x^{k-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{x} \sum_{k=0}^\infty [/mm] k [mm] x^k$. [/mm] Jetzt solltest du es sehen, oder?

LG Felix


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Bezug
Summenwert zweier Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:09 Mi 08.03.2006
Autor: Riley

Hi Feix!! danke dir vielmals *lichtaufgeh* ;)) das ist ja faszinierend...
d.h. ich muss nur noch das x auf die andere seite bringen und bekomm als lösung:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] k [mm] x^k [/mm] =  [mm] \bruch{x}{(1-x)²} [/mm]
stimmt das so?
und für Aufg (ii) muss ich dann das ganze nochmal differenzieren, oder?
also:
[mm] \bruch{2}{(1-x)³}=\summe_{k=0}^{\infty} [/mm] {k (k-1) [mm] x^{k-2} [/mm] }= [mm] \bruch{1}{x²}\summe_{k=0}^{\infty}{ (k²-k) x^k}= \bruch{1}{x²}\summe_{k=0}^{\infty}{ k² x^k}-\bruch{1}{x²}\summe_{k=0}^{\infty}{ k x^k} [/mm]

für den letzten teil kann ich ja dann das ergebnis von (i) verwenden, auf die andre seite bringen und bekomm als summenwert:
[mm] \bruch{2x²}{(1-x)³} [/mm] + [mm] \bruch{x²}{x(1-x)²} [/mm]
stimmt das soweit? das muss ich dann halt noch bissle vereinfachen...




Bezug
                                                        
Bezug
Summenwert zweier Reihen: kleiner Fehler ohne Folgen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:30 Mi 08.03.2006
Autor: Mr.Peanut

Ich glaube ihr habt einen kleinen Fehler gemacht: die Folge lautet laut Aufgabenstellung:
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] $ k $ [mm] x^k [/mm] $
nicht
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] $ k $ [mm] x^k [/mm] $  (k=1 nicht 0)

also ist:

$ [mm] \frac{1}{1-x} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty x^k [/mm] $
beide Seiten Ableiten:

$ [mm] \frac{1}{(1-x)^2} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty [/mm] k [mm] x^{k-1} [/mm] $

Tschuldigung Ergebniss ist doch nicht falsch da das erste  Summenglied(k=0) = 0 ist.
=$ [mm] \bruch{1}{x}(0+\sum_{k=1}^\infty [/mm] k [mm] x^{k})$ [/mm]
=$ [mm] \bruch{1}{x}\sum_{k=1}^\infty [/mm] k [mm] x^{k}$ [/mm]


(ii) Stimmmt meiner Meinung nach bis auf das mit dem k macht aber nichts, da:
$ [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} [/mm]  k²  [mm] x^k [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} [/mm]  k² [mm] x^k [/mm] $

ist aber nicht immer so: also aufpassen.


Bezug
                                                                
Bezug
Summenwert zweier Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:19 Mi 08.03.2006
Autor: Riley

ah okay... vielen dank für deine korrektur! werd versuchen in zukunft darauf zu achten... danke sehr! ;)

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