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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Mi 15.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
| Aufgabe | Es seien m und n positive ganze Zahlen. Berechnen Sie
[mm] \summe_{i=m}^{n}(-1)^{i}i
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{m}\summe_{j=1}^{n}i² [/mm] (j + 1)
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bei der ersten habe ich einmal aufgeteil in
[mm] \summe_{i=m}^{n}(-1)^{i} \* \summe_{i=m}^{n}i [/mm]
und den zweiten Teil ausgerechnet
das ergibt dann [mm] \bruch{n(n + 1) - m(m - 1)}{2}
[/mm]
aber wie rechne ich den ersten Teil???
und bei der zweiten erhalte ich als ergebnis
[mm] \bruch{m(2m² + 3m + 1) + n ( 3n + 9)}{6}
[/mm]
stimmt das??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Mi 15.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Zur ersten Summe:
[mm] \summe_{i=0}^{n}(-1)^{i}=(-1)^{0}+(-1)^{1}+(-1)^{2}+...+(-1^{n-1}+(-1)^{n}=1-1+1-1+...
[/mm]
Jetzt mach mal die Fallunterscheidung n gerade/ungerade
Beim Zweiten:
[mm] \summe_{i=1}^{m}\summe_{j=1}^{n}i²(j+1)
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{m}i²*\summe_{j=1}^{n}(j+1)
[/mm]
=...
Marius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:06 Mi 15.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
ja, wenn n gerade dann erhält man 1 und wenn n ungerade erhält man 0, aber wie gehe ich bei der gegebenen Summe vor, die geht von m bis n??
stimmt die zweite also???
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> Es seien m und n positive ganze Zahlen. Berechnen Sie
>
> [mm]\summe_{i=m}^{n}(-1)^{i}i[/mm]
>
> [mm]\summe_{i=1}^{m}\summe_{j=1}^{n}i²[/mm] (j + 1)
>
> bei der ersten habe ich einmal aufgeteil in
>
> [mm]\summe_{i=m}^{n}(-1)^{i} \* \summe_{i=m}^{n}i[/mm]
Hallo,
das darfst Du nicht tun!
Nehmen wir z.B. mal m=2 und n=5.
Es ist [mm] \summe_{i=2}^{5}(-1)^{i}i=(-1)^{2}*2+(-1)^{3}*3+(-1)^{4}*4+(-1)^{5}*5=2-3+4-5=-2,
[/mm]
hingegen ist
[mm]\summe_{i=2}^{5}(-1)^{i} \* \summe_{i=2}^{5}i[/mm] [mm] =((-1)^{2} [/mm] + [mm] (-1)^{3}+(-1)^{4} +(-1)^{5} [/mm] )*(2+3+4+5)=0*14=0.
Befolge Marius' Rat und untersuche [mm] \summe_{i=m}^{n}(-1)^{i}i
[/mm]
für m,n beide gerade,
m,n beide ungerade
n gerade, m ungerade
n ungerade, m gerade.
Am Anfang ist es sicher hilfreich, das Summenzeichen als lange Summe auszuschreiben.
>
> und den zweiten Teil ausgerechnet
Hier darfst Du das auseinanderziehen zu [mm] \summe_{i=1}^{m}\summe_{j=1}^{n}i² [/mm] (j + 1)= [mm] \summe_{i=1}^{m}i^2\summe_{j=1}^{n}(j [/mm] + 1),
denn es ist ja
[mm] \summe_{i=1}^{m}\summe_{j=1}^{n}i²(j [/mm] + 1) [mm] =\summe_{i=1}^{m}[i²(1+ [/mm] 1)+i²(2 + 1)+i²(3 + 1)+...+i²(n + 1)] [mm] =\summe_{i=1}^{m}[i²((1+ [/mm] 1)+(2 + 1)+(3 + 1)+...+(n + [mm] 1)]=(\summe_{i=1}^{m}i²)[(1+ [/mm] 1)+(2 + 1)+(3 + 1)+...+(n + [mm] 1)]=(\summe_{i=1}^{m}i²)(\summe_{j=1}^{n}(j [/mm] + 1))
Wenn Du nun die beiden Teilsummen kennst, hast Du das Ergebnis.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Mi 15.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
ja ich habe das jetzt probiert
also ich erkenne ein paar dinge
wenn m ung und n ger, dann erhalte ich die anzahl der summierten zahlen halbe (so irgendwie?)
wenn beide ungerade erhalte ich (-m + -n)/2
wenn beider gerade erhalte ich (m + n)/2
wenn m ger und n ungerade, dann erhalte ich die anzahl der summierten zahlen halbe (und negativ)
okay das habe ich herausgefunden, aber wie geht es jetzt weiter???
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> okay das habe ich herausgefunden, aber wie geht es jetzt
> weiter???
Hallo,
ich weiß ja nicht, was bei Euch gerade so behandelt wird.
Den Beweis würde ich selbst am liebsten so führen:
Zeige irgendwie (Induktion?), was für [mm] \summe_{i=1}^{n}(-1)^ii [/mm] herauskommt für gerades/ungerades n.
Danach könntest Du dann [mm] \summe_{i=m}^{n}(-1)^ii [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}(-1)^ii [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{m-1}(-1)^ii [/mm] verwenden und die angesprochenen Fallunterscheidungen durchführen.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:38 Mi 15.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
wie gehe ich da mit den fallunterscheidungen vor??
wie kann ich da weiterreichnen??
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> wie gehe ich da mit den fallunterscheidungen vor??
>
> wie kann ich da weiterreichnen??
Hallo,
vielleicht zeigst Du mal, was Du bisher hast. Dann kann man nämlich besser weiterhelfen.
Wie soll man wissen, wie Du weitermachen sollst, wenn man nicht weiß, wie weit Du bist?
Welche Fälle zu untersuchen sind, hatten wir ja besprochen.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:46 Mi 15.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
eigentlich habe ich nur probiert, mit Zahlen, was herauskommt, aber wei ich das dann für diese Summen machen soll, weiß ich nicht
die Fälle sind
n,m gerade
n,m ungerada
und jeweils einer
gerade und einer ungerade.
ich weiß einfach nicht, wie ich das umsetzten soll ja irgendwie!
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> eigentlich habe ich nur probiert, mit Zahlen, was
> herauskommt, aber wei ich das dann für diese Summen machen
> soll, weiß ich nicht
> die Fälle sind
>
> n,m gerade
> n,m ungerada
> und jeweils einer
> gerade und einer ungerade.
>
> ich weiß einfach nicht, wie ich das umsetzten soll ja
> irgendwie!
Hallo,
ich hatte Dir ja vorgeschlagen, erstmal zu zeigen, was für gerades/ungerades n bei [mm] \summe_{i=1}^{n}(-1)^ii [/mm] herauskommt, und zwar per Induktion.
Hast Du das denn schon gemacht? War vollständige Induktion dran?
An welcher Stelle scheiterst Du?
Gruß v. Angela
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