Summenzeichen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
bezüglich der Ungleichung:
1 + [mm] \summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}} \ge [/mm] 3
wie kann ich den Term so umformen, dass das Summezeichen wegfällt?
Ich kann auf beiden Seiten 1 subtrahieren sodass ich :
[mm] \summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}} \ge [/mm] 2
erhalte
aber dann steht mir das Summenzeichen immer noch im weg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 Sa 30.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
> bezüglich der Ungleichung:
> 1 + [mm]\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}} \ge[/mm] 3
> wie kann ich den Term so umformen, dass das Summezeichen
> wegfällt?
> Ich kann auf beiden Seiten 1 subtrahieren sodass ich :
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}} \ge[/mm] 2
> erhalte
> aber dann steht mir das Summenzeichen immer noch im weg
[mm] \summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}
[/mm]
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
diese Formulierung kenne ich 
aber das hilft mir bei dem Beweis meiner Ungleichung ja auch nicht weiter, dies ist ja zu allegemein leider
also nun? :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Sa 30.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Deine Ungleichung stimmt schon für $n=1$ nicht!
Was ist denn die genaue Aufgabenstellung?
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
Es tut mir leid, ich habe das Ungleichzeichen vertauscht.. es ist ein [mm] \le [/mm] 3 anstatt ein [mm] \ge [/mm] 3
also umgeformt
[mm] \summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}} \le [/mm] 2
allerdings ist mir unscheinbar wie ich nun weiter umformen kann
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Hallo,
wir ändern zunächst einmal die Summation:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2^k}
[/mm]
Was haben wir getan? Einfach nur den Index verschoben.
Und nun schau dir mal die geometrische Reihe an:
[mm] \sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{k+1}}{1-q} [/mm] für [mm] q\not=1
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 Sa 30.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Und nun schau dir mal die geometrische Reihe an:
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n}q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] für [mm]q\not=1[/mm]
Kleiner Schreibfehler 
[mm]\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] für [mm]q\not=1[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:01 So 01.12.2013 | | Autor: | Richie1401 |
ja natürlich, danke.
Beitrag oben geändert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 So 01.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Riechie,
du hast den linken Teil korrigiert und das ganze rechts auch durchgeführt
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] für [mm]q\not=1[/mm]
wenn ich das so umforme und einsetze erhalte ich ja:
[mm] \frac{1-(2^{-k})^{(n-1)+1}}{1-2^{-k}} [/mm]
stimmt das so?
das kann ich ja weiter umformen zu:
[mm] \frac{1-(2^{-kn})}{1-2^{-k}} \le [/mm] 3
wie kann ich das weiter umformen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 So 01.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
>
> > [mm]\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] für [mm]q\not=1[/mm]
Richie hat beim Verbessern der Summe den rechten Teil auch geändert, was falsch ist.
Es gilt: [mm] \sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] für [mm] q\not=1 [/mm] und [mm] n\in\N_0
[/mm]
Zu zeigen: [mm] 1+\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}\le [/mm] 3 für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt.
[mm] 1+\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}=1+\summe_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2^k}=1+\summe_{k=0}^{n-1}(\frac{1}{2})^k=1+\frac{1-(\frac{1}{2})^n}{1-\frac{1}{2}}
[/mm]
Jetzt du!
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
> >
> > > [mm]\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] für [mm]q\not=1[/mm]
>
> Richie hat beim Verbessern der Summe den rechten Teil auch
> geändert, was falsch ist.
>
> Es gilt: [mm]\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] für
> [mm]q\not=1[/mm] und [mm]n\in\N_0[/mm]
>
> Zu zeigen: [mm]1+\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}\le[/mm] 3 für
> alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt.
>
> [mm]1+\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}=1+\summe_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2^k}=1+\summe_{k=0}^{n-1}(\frac{1}{2})^k=1+\frac{1-(\frac{1}{2})^n}{1-\frac{1}{2}}[/mm]
hast du nicht hoch k vergessen?
>
> Jetzt du!
>
> DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 So 01.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> > >
> > > > [mm]\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] für [mm]q\not=1[/mm]
> >
> > Richie hat beim Verbessern der Summe den rechten Teil auch
> > geändert, was falsch ist.
> >
> > Es gilt: [mm]\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] für
> > [mm]q\not=1[/mm] und [mm]n\in\N_0[/mm]
> >
> > Zu zeigen: [mm]1+\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}\le[/mm] 3 für
> > alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt.
> >
> >
> [mm]1+\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}=1+\summe_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2^k}=1+\summe_{k=0}^{n-1}(\frac{1}{2})^k=1+\frac{1-(\frac{1}{2})^n}{1-\frac{1}{2}}[/mm]
>
> hast du nicht hoch k vergessen?
Nein.
[mm] \sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] für alle [mm] q\not=-1 [/mm] und [mm] n\in\IN_0
[/mm]
Wo siehst du da genau auf der rechten Seite ein k?
Das kannst du übrigens wunderbar mit Induktion nachweisen!
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
okay ich habe mich verlesen. Entschuldigung..
ich habe deinen Term mal umgeformt zu:
1 + 2* (1- [mm] 0,5^{n}) \le [/mm] 3
also 3 - [mm] 1^n \le [/mm] 3
kann ich jetzt sagen, dass wegen n [mm] \in \IN [/mm] und n>0 gilt diese Ungleichung? da 3 minus etwas ja immer kleiner also 3 ist bzw so umformen :
[mm] -1^{n} \le [/mm] 0
oder muss ich noch eine Induktion durchführen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 So 01.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> okay ich habe mich verlesen. Entschuldigung..
> ich habe deinen Term mal umgeformt zu:
> 1 + 2* (1- [mm]0,5^{n}) \le[/mm] 3
Wie kommst du dadrauf?
Rechne vor!
> also 3 - [mm]1^n \le[/mm] 3
> kann ich jetzt sagen, dass wegen n [mm]\in \IN[/mm] und n>0 gilt
> diese Ungleichung? da 3 minus etwas ja immer kleiner also 3
> ist bzw so umformen :
> [mm]-1^{n} \le[/mm] 0
> oder muss ich noch eine Induktion durchführen?
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
okay
wir hatten ja:
1+ [mm] \frac{1-0,5^{n}}{1-0,5}
[/mm]
= 1+ [mm] \frac{1-0,5^{n}}{0,5}
[/mm]
= 1+ 2* ( [mm] 1-0,5^{n})
[/mm]
= 1+ 2 - [mm] 1^{n}
[/mm]
= 3 [mm] -1^{n}
[/mm]
stimmt das nicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
ups. hatte mich schon gewundert, dass es so einfach geht :-P
also habe ich ja dann:
3 - [mm] 2*0,5^{n} \le [/mm] 3
muss ich dies noch mit Induktion beweisen?
oder reicht es zu sagen , dass
-2* [mm] 0,5^{n} \le [/mm] 0 für alle n [mm] \in \IN [/mm] also n >0 gilt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 So 01.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> ups. hatte mich schon gewundert, dass es so einfach geht
> :-P
> also habe ich ja dann:
> 3 - [mm]2*0,5^{n} \le[/mm] 3
> muss ich dies noch mit Induktion beweisen?
> oder reicht es zu sagen , dass
> -2* [mm]0,5^{n} \le[/mm] 0 für alle n [mm]\in \IN[/mm] also n >0 gilt?
Das sollte klar sein, denn [mm] (\frac{1}{2})^n\ge0 [/mm] ist für alle [mm] n\in\IN_0 [/mm] und damit ist [mm] -2*(\frac{1}{2})^n\le0 [/mm] für alle [mm] n\in\IN_0
[/mm]
DieAcht
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