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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Toni908 |
| Aufgabe | Beweisen sie mittels vollständiger Induktion:
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] ii! = (n+1)! -1 |
Ich habe diese Frage in keinem anderenn Forum gestellt!
Diese Aufgabe fällt mir schwer!
Leider muss ich das auch bis zum 30.10 abgeben!
ich habe auch noch nicht so richtig verstanden wie die vollständige Induktion geht. Deshalb weis ich nicht wie ich das beweisen soll.
ich weis das die Fakultät von 0!= 1 und 1!=1 dann gehts ja immer weiter 2!=2 3!=6 etc.
die summe geht von 1 bis n fakultät von n! = (n-1).n
es steht also da, das i .i! das gleiche ist wie (n+1)!-1
nehmen wir mal n=1
dann heist das also 1.1!=1
(1+1)! = 2
2-1 =1
heist am ende steht da 1=1 was stimmt
also 1.1!= (1+1)!-1
nehme ich für n=2
1.1!=(2+1)!-1 falsche aussage
da 1 nicht 5
ich hoffe ihr könnt mir helfen!
Gruß, Toni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Sa 27.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Beweisen sie mittels vollständiger Induktion:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] ii! = (n+1)! -1 [/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem anderenn Forum gestellt!
>
> Diese Aufgabe fällt mir schwer!
>
> Leider muss ich das auch bis zum 30.10 abgeben!
>
> ich habe auch noch nicht so richtig verstanden wie die
> vollständige Induktion geht. Deshalb weis ich nicht wie ich
> das beweisen soll.
ich schreib dir erst mal die Summe mit Pünktchen auf:
[mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] i*(i!)=1*1+ 2*(1*2)+ 3*(1*2*3)+ 4*(1*2*3*4)+...+n*(1*2*3*....*n)
Dann für n=1
steht da [mm]\summe_{i=1}^{1}[/mm] ii!=1*1
rechts steht (1+1)!-1=2!-1=1
für n=1 ists also richtig.
Jetzt die Ind, Vorraussetzung: für n gilt die Formel
I) [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] i*i! = (n+1)! -1 [/mm]
daraus willst du schliessen: sie gilt auch für n+1, also es soll dann gelten:
[mm]\summe_{i=1}^{n+1}[/mm] i*i! = ((n+1)+1)! -1=(n+2)!-1[/mm]
jetzt geht man bei Induktion mit Summen immer so vor, dass man die Summe aufteilt, in die, deren Resultat man us I) kennt und den Rest! also
[mm] $\summe_{i=1}^{n+1} [/mm] i*i! [mm] =\summe_{i=1}^{n} [/mm] i*i! +(n+1)*(n+1)!$
für den vorderen Teil setzt man jetz das Ergebnis aus I) ein, was ja als richtig gilt: also
[mm] $=\summe_{i=1}^{n} [/mm] i*i! +n*(n+1)!=(n+1)!-1 +(n+1)*(n+1)!$
so jetzt musst du nur den rechten Teil noch so umformen, dass der rechte Teil der Beh. rauskommt. denk dran (n+2)!=(n+1)!*(n+2)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Toni908 |
die Aufteilung der Summe habe ich noch nicht verstanden.
und welchen rechten teil soll ich noch umformen?
Gruß, Toni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 So 28.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Toni!
leduart meint hier den rechten Teil der letzten Gleichung mit:
$$... \ = \ [mm] \blue{\summe_{i=1}^{n}i*i!} [/mm] +n*(n+1)! \ = \ [mm] \blue{(n+1)!-1} [/mm] +(n+1)*(n+1)! \ = \ ...$$
Diesen musst Du nun derart umformen, bis Du $... \ = \ (n+2)!-1$ erhältst.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 So 28.10.2007 | | Autor: | Toni908 |
> ich schreib dir erst mal die Summe mit Pünktchen auf:
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] i*(i!)=1*1+ 2*(1*2)+ 3*(1*2*3)+
> 4*(1*2*3*4)+...+n*(1*2*3*....*n)
> Dann für n=1
> steht da [mm]\summe_{i=1}^{1}[/mm] ii!=1*1
> rechts steht (1+1)!-1=2!-1=1
> für n=1 ists also richtig.
Das habe ich verstanden!
> Jetzt die Ind, Vorraussetzung: für n gilt die Formel
>
> I) [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] i*i! = (n+1)! -1[/mm]
>
> daraus willst du schliessen: sie gilt auch für n+1, also es
> soll dann gelten:
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1}[/mm] i*i! = ((n+1)+1)! -1=(n+2)!-1[/mm]
Das habe ich auch verstanden!
>
> jetzt geht man bei Induktion mit Summen immer so vor, dass
> man die Summe aufteilt, in die, deren Resultat man us I)
> kennt und den Rest! also
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1}[/mm] i*i! [mm]=\summe_{i=1}^{n}[/mm][/mm] i*i!
> +(n+1)*(n+1)![/mm]
Und diesen SChritt habe ich nicht verstanden!
was bedeuten denn die mm?
und woher nehme ich die +(n+1)*(n+1)!
>
> für den vorderen Teil setzt man jetz das Ergebnis aus I)
> ein, was ja als richtig gilt: also
>
> [mm]$=\summe_{i=1}^{n}[/mm][/mm] i*i! +n*(n+1)!=(n+1)!-1 +(n+1)*(n+1)!
die rechte seite der gleichung ist mir klar, aber auf der linken seite das +n*(n+1)! ist mir nicht klar wo das her kommt
> so jetzt musst du nur den rechten Teil noch so umformen,
> dass der rechte Teil der Beh. rauskommt. denk dran
> (n+2)!=(n+1)!*(n+2)
> Gruss leduart
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 So 28.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Toni!
> > [mm]\summe_{i=1}^{n+1} i*i!=\summe_{i=1}^{n} i*i! +(n+1)*(n+1)![/mm]
>
> Und diesen SChritt habe ich nicht verstanden!
> was bedeuten denn die mm?
Die gehören da nicht hin, da ist bei der Formeledititierung etwas schief gelaufen (oben ist der Artiekel nun korrigiert).
> und woher nehme ich die +(n+1)*(n+1)!
Die entstehen als letzter Summand der Reihe bzw. durch Auseinanderziehen der Summe:
[mm] $$\summe_{i=1}^{n+1} [/mm] i*i! \ = \ [mm] \summe_{i=1}^{n} i*i!+\red{\summe_{i=n+1}^{n+1} i*i!} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{i=1}^{n} i*i!+\red{(n+1)*(n+1)!}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Toni908 |
ahhh, ok dann ist mir ja alles klar!
Vielen Dank euch allen!
Gruß, Toni
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