Summenzerlegung C hoch 2 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 So 06.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo,
also ich habe hier eine für mich verwirrende Aufgabe, vermutlich
weil ich mir unter span nicht soviel vorstellen kann.
Also die Aufgabe geht so:
(a)Weise Sie nach, dass
[mm] $\IC^3 [/mm] = [mm] span\{(2,2,2)\} \oplus span\{(1,1,0),(2i,0,2i)\}.$
[/mm]
(b) Bestimmen Sie zu dieser Summenzerlegung des [mm] $\IC^3$ [/mm] gehörige Darstellung
des Einheitsvektors $(1,0,0)$.
Zu a)
Könnte ich mit so einem Ansatz anfangen und dann sagen, dass das
Ergebnis in [mm] $\IC^3$ [/mm] liegt???
[mm]
\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}
+(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2i \\ 0 \\ 2i \end{pmatrix})
= ( \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2+2i \\ 2 \\ 2i \end{pmatrix})
[/mm]
Sonst fällt mir zu a und b nichts mehr ein. Vielleicht hat jemand ein paar Tipps ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Bye bye
nevinpol
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 So 06.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo nevinpol,
> also ich habe hier eine für mich verwirrende Aufgabe,
> vermutlich
> weil ich mir unter span nicht soviel vorstellen kann.
Der Span einer Menge M von Vektoren ist einfach die Menge aller Vektoren, die eine Linearkombination der Vektoren aus M sind.
> Also die Aufgabe geht so:
>
> (a)Weise Sie nach, dass
>
> [mm] $\IC^3 [/mm] = [mm] span\{(2,2,2)\} \oplus span\{(1,1,0),(2i,0,2i)\}.$
[/mm]
>
> (b) Bestimmen Sie zu dieser Summenzerlegung des [mm] $\IC^3$ [/mm]
> gehörige Darstellung
> des Einheitsvektors $(1,0,0)$.
>
> Zu a)
>
> Könnte ich mit so einem Ansatz anfangen und dann sagen,
> dass das
> Ergebnis in [mm] $\IC^3$ [/mm] liegt???
>
> [mm]
\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}
+(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2i \\ 0 \\ 2i \end{pmatrix})
= ( \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2+2i \\ 2 \\ 2i \end{pmatrix})
[/mm]
Verstehe ich nicht, worauf soll das hinauslaufen? Was ist damit gezeigt?
Für die Aussage [mm] $\IC^3 [/mm] = [mm] \operatorname{span}\{(2,2,2)\} \oplus \operatorname{span}\{(1,1,0),(2i,0,2i)\}$ [/mm] sind zweierlei Dinge zu zeigen:
i) [mm] $\IC^3 \subseteq \operatorname{span}\{(2,2,2)\} [/mm] + [mm] \operatorname{span}\{(1,1,0),(2i,0,2i)\}$ [/mm] (die Mengeninklusion [mm] $\IC^3 \supseteq \operatorname{span}\{(2,2,2)\} [/mm] + [mm] \operatorname{span}\{(1,1,0),(2i,0,2i)\}$ [/mm] ist klar).
Man könnte für "+" auch schreiben [mm] $\IC^3 \subseteq \operatorname{span}(\operatorname{span}\{(2,2,2)\}\cup \operatorname{span}\{(1,1,0),(2i,0,2i)\})$
[/mm]
ii) [mm] $\operatorname{span}\{(2,2,2)\}\cap \operatorname{span}\{(1,1,0),(2i,0,2i)\}=\{0\}$
[/mm]
Vielleicht schreibe ich die Definition von [mm] $\operatorname{span}\{u_1,\ldots,u_n\}$ [/mm] mal formal auf:
[mm] $\operatorname{span}\{u_1,\ldots,u_n\}=\left\{\lambda_1*u_1+\ldots+\lambda_n*u_n\ |\ \lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\IC\right\}$
[/mm]
Ein Vektor v liegt also im Span der Vektoren [mm] $u_1,\ldots,u_n$, [/mm] wenn es [mm] $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\IC$ [/mm] gibt, so dass
[mm] $v=\lambda_1*u_1+\ldots+\lambda_n*u_n$
[/mm]
Für i) nimmst du also einen Vektor [mm] $v\in\IC^3$ [/mm] her und zeigst, dass es die behauptete Linearkombination gibt.
ii) dürfte dann auch recht einfach sein, du mußt ja zeigen, dass einzig der Nullvektor in beiden Mengen enthalten ist.
Wie immer also nur ein paar Tipps zum Weiterkommen, falls dem nicht so ist, melde dich einfach wieder 
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 So 06.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo Marc...
also ich versuch erstmal diese Aufgabe, weil ich bei den anderen (Endomorphismus)
noch weniger klargekommen bin...
Nun ich habe versucht aus deinen Tipps, mich zur Lösung zu nähern:
>Für i) nimmst du also einen Vektor $v [mm] \in C^3$ [/mm] her und zeigst,
>dass es die behauptete Linearkombination gibt.
Also ich habs versucht und zwar:
[mm] $C^3 \subseteq span\{(2,2,2)\} [/mm] + span [mm] \{(1,1,0), (2i,0,2i)\}$
[/mm]
Dann habe ich mir einzeln mal aufgeschrieben:
[mm] $span\{(2,2,2)\} [/mm] = [mm] \lambda_1 \cdot u_1 [/mm] = [mm] \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] $
$span [mm] \{(1,1,0), (2i,0,2i)\} [/mm] $
$= [mm] \lambda_1 \cdot u_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot u_2 [/mm] $
$= [mm] \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 2i \\ 0 \\ 2i \end{pmatrix}$
[/mm]
Dann habe ich das versucht einzusetzen:
[mm] $C^3 \subseteq span\{(2,2,2)\} [/mm] + span [mm] \{(1,1,0), (2i,0,2i)\}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow C^3 \subseteq (\lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix})+(\lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 2i \\ 0 \\ 2i \end{pmatrix}) [/mm] $
[mm] $\Rightarrow C^3 \subseteq \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}+\lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 2i \\ 0 \\ 2i \end{pmatrix} [/mm] $
[mm] $\Rightarrow C^3 \subseteq \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}+\lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 2i \\ 0 \\ 2i \end{pmatrix} [/mm] $
Dann habe ich mir gedacht für [mm] $\lambda_1$ [/mm] und [mm] $\lambda_2$ [/mm] Zahlen einzusetzen:
Also: Für [mm] $\lambda_1, \lambda_2 \in \IC$ [/mm] setze ich [mm] $\lambda_1=1$ [/mm] und [mm] $\lambda_2=1$. [/mm] Dann folgt:
[mm] $\Rightarrow C^3 \subseteq [/mm] 1 [mm] \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}+1 \cdot \begin{pmatrix} 2i \\ 0 \\ 2i \end{pmatrix} [/mm] $
[mm] $\Rightarrow C^3 \subseteq \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2i \\ 0 \\ 2i \end{pmatrix} [/mm] $
[mm] $\Rightarrow C^3 \subseteq \begin{pmatrix} 3+2i \\ 3 \\ 2+2i \end{pmatrix} [/mm] $
Kannst du mir vielleicht sagen ob ich auf dem richtigen Weg bin?
Und kann ich für den Beweis des Nullvektors dann folgendes machen?
[mm] $\Rightarrow C^3 \subseteq \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}-\lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 2i \\ 0 \\ 2i \end{pmatrix} [/mm] $
Vielen Dank !!!
Liebe Grüsse
nevinpol
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 So 06.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo nevinpol,
> >Für i) nimmst du also einen Vektor $v [mm] \in C^3$ [/mm] her und
> zeigst,
> >dass es die behauptete Linearkombination gibt.
>
> Also ich habs versucht und zwar:
>
>
> [mm] $C^3 \subseteq span\{(2,2,2)\} [/mm] + span [mm] \{(1,1,0),
> (2i,0,2i)\}$
[/mm]
>
> Dann habe ich mir einzeln mal aufgeschrieben:
>
> [mm] $span\{(2,2,2)\} [/mm] = [mm] \lambda_1 \cdot u_1 [/mm] = [mm] \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] $
> $span [mm] \{(1,1,0), (2i,0,2i)\} [/mm] $
> $= [mm] \lambda_1 \cdot u_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot u_2 [/mm] $
> $= [mm] \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 2i \\ 0 \\ 2i \end{pmatrix}$
[/mm]
Mmh, ich weiß, was du meinst, aber formal passt das nicht zusammen.
Links, also der Span, steht ja eine Menge von Vektoren, während auf der rechten Seite der Gleichung ein einzelner Vektor steht.
Gut, man könnte das durch einfach Zufügen von Mengenklammern retten, aber weiter unten wird noch deutlicher, dass du etwas sorglos mit den Objekten umgehst.
> Dann habe ich das versucht einzusetzen:
>
> [mm] $C^3 \subseteq span\{(2,2,2)\} [/mm] + span [mm] \{(1,1,0), (2i,0,2i)\}$
[/mm]
Das macht formal noch Sinn.
> [mm] $\Rightarrow C^3 \subseteq (\lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix})+(\lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 2i \\ 0 \\ 2i \end{pmatrix}) [/mm] $
Das schon nicht mehr, aus demselben Grund wie oben: Links Menge, rechts ein einzelner Vektor.
Ausserdem ist das "Plus-Zeichen" + falsch interpretiert. Bei [mm] $\operatorname{span}\{(2,2,2)\} [/mm] + [mm] \operatorname{span} \{(1,1,0), (2i,0,2i)\}$ [/mm] ist "+" als Span/lineare Hülle/Menge aller Linearkombinationen gemeint.
> Kannst du mir vielleicht sagen ob ich auf dem richtigen Weg
> bin?
Nicht wirklich...
Zunächst einmal etwas Grundsätzliches, wie man Mengeninklusionen [mm] $A\subset [/mm] B$ zeigen kann.
Dort nimmt man sich ein beliebiges Element $x$ aus der Menge $A$ her und zeigt, dass es auch in der Menge $B$ liegt. Dann ist die gesamte Menge A Teilmenge von B.
Genau so müssen wir es auch hier machen.
Sei [mm] $v=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\in\IC^3$.
[/mm]
Zu zeigen ist: [mm] $v\in\operatorname{span}\{(2,2,2)\} [/mm] + [mm] \operatorname{span} \{(1,1,0), (2i,0,2i)\}$
[/mm]
Ein Element der Menge [mm] $\operatorname{span}\{(2,2,2)\}$ [/mm] hat die Darstellung [mm] $\lambda_1*\vektor{2\\2\\2}$ [/mm] mit [mm] $\lambda_1\in\IC$.
[/mm]
Ein Element der Menge [mm] $\operatorname{span} \{(1,1,0), (2i,0,2i)\}$ [/mm] hat die Darstellung [mm] $\lambda_2*\vektor{1\\1\\0}+ \lambda_3*\vektor{2i\\0\\2i}$ [/mm] mit [mm] $\lambda_2,\lambda_3\in\IC$
[/mm]
Ein Element der Menge [mm] $\operatorname{span}\{(2,2,2)\} [/mm] + [mm] \operatorname{span} \{(1,1,0), (2i,0,2i)\}$ [/mm] folglich die Darstellung
[mm] $\mu_1*\left(\lambda_1*\vektor{2\\2\\2}\right) [/mm] + [mm] \mu_2*\left( \lambda_2*\vektor{1\\1\\0}+ \lambda_3*\vektor{2i\\0\\2i} \right)$
[/mm]
[mm] $=\mu_1*\lambda_1*\vektor{2\\2\\2} [/mm] + [mm] \mu_2* \lambda_2*\vektor{1\\1\\0}+ \mu_2*\lambda_3*\vektor{2i\\0\\2i}$
[/mm]
Also im wesentlichen einfach eine Linearkombination der drei Vektoren:
[mm] $=\alpha_1*\vektor{2\\2\\2} [/mm] + [mm] \alpha_2 *\vektor{1\\1\\0}+ \alpha_3*\vektor{2i\\0\\2i}$
[/mm]
Du mußt also zeigen, dass es für den beliebig gewählten Vektor $v$ von oben drei Zahlen [mm] $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\IC$ [/mm] gibt, so dass
[mm] $\vektor{v_1\\v_2\\v_3}=\alpha_1*\vektor{2\\2\\2} [/mm] + [mm] \alpha_2 *\vektor{1\\1\\0}+ \alpha_3*\vektor{2i\\0\\2i}$
[/mm]
gilt.
> Und kann ich für den Beweis des Nullvektors dann folgendes
> machen?
>
>
> [mm] $\Rightarrow C^3 \subseteq \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}-\lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 2i \\ 0 \\ 2i \end{pmatrix} [/mm] $
Nein ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Sei [mm] $\vec v\in\operatorname{span}\{\vektor{2\\2\\2}}$ [/mm] und [mm] $v\in\operatorname{span}\{(1,1,0), (2i,0,2i)\}
[/mm]
[mm] $\Rightarrow v=\vec [/mm] 0$
Das ist im wesentlichen die Aussage, dass die drei Vektoren linear unabhängig sind.
Viel Erfolg!
Marc
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