Summierbare Familien < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:30 Di 15.06.2010 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Der begriff einer summierbaren Familie wird auf beliebige Indexmengen erweitert.
Eine Familie [mm] (a_i)_{i \in I} [/mm] reeller Zahlen heißt summierbar mit Summe $a [mm] \in \IR$, [/mm] wenn es für jedes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] eine endliche Teilmenge [mm] $I_0 \subset [/mm] I gibt$, sodass für jede endliche Teilmenge $J [mm] \subset [/mm] I$ mit [mm] $I_0 \subset [/mm] J [mm] \subset [/mm] I$ gilt:
[mm] |a-\summe_{i \in J}a_i|<\varepsilon
[/mm]
[mm] (a_i)_{i \in I} [/mm] sei nun summierbar. Zeige: [mm] \{i \in I| a_i\not=0\} [/mm] ist abzählbar. |
Hi!
Hier hakt es leider. ich weiß nicht, wie ich da wirklich ansetzen kann. Es liegt wohl daran, dass [mm] I_0 [/mm] und J endlich sind und daher nur abzählbar viele Familienelemente ungleich 0 sein können, aber ich weiß nicht, wie ich das noch mehr ausschlachten soll. Viel mehr als den Aufgabentext habe ich ja auch nicht.
Also wenn ich anfangen müsste, würde ich das erst einmal so machen: Sei [mm] (a_i)_{i \in I} [/mm] summierbar, I eine überabzählbare Indexmenge. Dann gibt es also eine endliche Menge [mm] I_0=\{i_1, ..., i_n\}, [/mm] sodass für jede endliche Teilmenge J, die [mm] I_0 [/mm] enthält, [mm] |a-\summe_{i \in J}a_i|<\varepsilon [/mm] ist (wobei [mm] \varepsilon [/mm] vorgegeben wurde).
Weil J ja auch endlich ist, kann J also n, n+1, n+2, ... Elemente haben. Und jetzt muss ich wahrscheinlich die Überabzählbarkeit von I einbringen, ich weiß aber leider nicht wie ich das vernünftig machen kann. Kann mir da bitte jemand einen Tipp geben?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 19.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 Sa 19.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Teufel,
> Der begriff einer summierbaren Familie wird auf beliebige
> Indexmengen erweitert.
>
> Eine Familie [mm](a_i)_{i \in I}[/mm] reeller Zahlen heißt
> summierbar mit Summe [mm]a \in \IR[/mm], wenn es für jedes
> [mm]\varepsilon>0[/mm] eine endliche Teilmenge [mm]I_0 \subset I gibt[/mm],
> sodass für jede endliche Teilmenge [mm]J \subset I[/mm] mit [mm]I_0 \subset J \subset I[/mm]
> gilt:
> [mm]|a-\summe_{i \in J}a_i|<\varepsilon[/mm]
>
> [mm](a_i)_{i \in I}[/mm] sei nun summierbar. Zeige: [mm]\{i \in I| a_i\not=0\}[/mm]
> ist abzählbar.
> Hi!
>
> Hier hakt es leider. ich weiß nicht, wie ich da wirklich
> ansetzen kann. Es liegt wohl daran, dass [mm]I_0[/mm] und J endlich
> sind und daher nur abzählbar viele Familienelemente
> ungleich 0 sein können, aber ich weiß nicht, wie ich das
> noch mehr ausschlachten soll. Viel mehr als den
> Aufgabentext habe ich ja auch nicht.
>
> Also wenn ich anfangen müsste, würde ich das erst einmal
> so machen: Sei [mm](a_i)_{i \in I}[/mm] summierbar, I eine
> überabzählbare Indexmenge. Dann gibt es also eine
> endliche Menge [mm]I_0=\{i_1, ..., i_n\},[/mm] sodass für jede
> endliche Teilmenge J, die [mm]I_0[/mm] enthält, [mm]|a-\summe_{i \in J}a_i|<\varepsilon[/mm]
> ist (wobei [mm]\varepsilon[/mm] vorgegeben wurde).
> Weil J ja auch endlich ist, kann J also n, n+1, n+2, ...
> Elemente haben. Und jetzt muss ich wahrscheinlich die
> Überabzählbarkeit von I einbringen, ich weiß aber leider
> nicht wie ich das vernünftig machen kann. Kann mir da
> bitte jemand einen Tipp geben?
ich denke, dass man das so hinbekommt:
Für [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ sei [mm] $I_\epsilon \subset [/mm] I$ endlich mit
[mm] $$|a-\sum_{j \in J}a_j| [/mm] < [mm] \epsilon$$
[/mm]
für jede endliche Teilmenge [mm] $J\,$ [/mm] mit [mm] $I_\epsilon \subset [/mm] J [mm] \subset I\,.$ [/mm] Dabei kann man ohne Einschränkung stets annehmen, dass [mm] $I_\epsilon$ [/mm] keine Indizes $p [mm] \in [/mm] I$ mit [mm] $a_p=0$ [/mm] enthält, da diese für die Eigenschaft "Summierbarkeit" offensichtlich per Definitionem dieses Begriffes nicht relevant sind. (Sollten sich welche in unser [mm] $I_\epsilon$ [/mm] verirrt haben, so können wir sie guten Gewissens wieder vor die Tür schicken, ohne, dass sich etwas an der Abschätzung ändert.)
Überlege Dir nun, dass bzw. ob
[mm] $$\{i \in I: a_i \not=0\}=\bigcup_{\epsilon > 0}I_\epsilon$$
[/mm]
gilt. Hierbei ist [mm] $\supset$ [/mm] klar (weil wir ja in keinem [mm] $I_\epsilon$ [/mm] Indizes [mm] $p\,$ [/mm] mit [mm] $a_p=0$ [/mm] zugelassen haben), aber [mm] $\subset$ [/mm] noch zu zeigen.
(Und da bin ich mir auch leider gerade nicht ganz sicher, ob das gelingen wird.)
Nun ist jedes [mm] $I_\epsilon$ [/mm] als endliche Menge aber insbesondere abzählbar, aber [mm] $\bigcup_{\epsilon > 0} I_\epsilon> [/mm] 0$ wäre eine Vereinigung, die nicht notwendig abzälbar sein müsste. Damit wir aber
[mm] $$\bigcup I_\epsilon$$
[/mm]
als abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen als abzählbar erkennen können, ersetzen wir halt [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ durch [mm] $\epsilon \in \IQ \cap (0,\infty)$:
[/mm]
[mm] $$\{i \in I: a_i \not=0\}=\bigcup_{\epsilon \in \IQ \cap (0,\infty)}I_\epsilon$$
[/mm]
Wenn uns der Beweis der letztstehenden Mengengleichheit gelingt (wobei auch hier nur noch [mm] $\subset$ [/mm] nicht trivial ist), so haben wir die linke Menge als abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen auch als abzählbar erkannt.
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
|
