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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 So 03.02.2013 | | Autor: | Aguero |
| Aufgabe | a)
Sei
A={ [mm] \bruch{1}{2n} [/mm] +1 | n [mm] \in \IN [/mm] }
Zeigen sie, dass das Sup und das Inf von A existiert und bestimmen sie es explizit. Existiert auch ein Maximum und ein Minimum von A?
b)
Beweisen sie oder wiederlegen sie die folgende Aussage:
Sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine Folge komplexer Zahlen mit Häufungspunkt a. Dann hat jede Teilfolge von [mm] (a_{n}) [/mm] den Punkt a ebenfalls als Häufungspunkt.
c)
Bestimmen sie die Häufungspunkte, sowie LimSup und LimInf für folgende reele Folge:
[mm] (a_{n}) [/mm] = [mm] \bruch{n + (-1)^{n} (3n+2)}{n} [/mm] |
zu a)
ich benutze die Eigenschaft von sup:= kleinste obere schranke. Für alle a [mm] \in [/mm] A existiert x sd. a [mm] \le [/mm] x
Max: Es existiert ein M [mm] \in [/mm] A sd. für alle a [mm] \in [/mm] A gilt a [mm] \le [/mm] M
für Inf analog.
A startet bei Wert 1 und somit ist dies das Supremum, da diese Zahl in der Menge enthalten ist, ist es gleichzeitig das maximum = 3/2
A konvergiert gg 1, jedoch wird die 1 nicht erreicht. => inf= 1, gedoch kein maximum
b)
eine Teilfolge kann verschiedene Häufungspunkte haben, deshalb ist diese Aussage zu wiederlegen.
Sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine Folge, die [mm] (-1)^{n} [/mm] enthält dann habe ich ja 2 verschiedene häufungspunkte, jedoch, besitzt die folge keinen HP (Bolzano)
jetzt ist mir leider auf die schnelle keine folge eingefallen. aber siehe als bsp aufgabe c)
Reicht es so zu argumentieren?
c)
ich unterteile [mm] (a_{n}) [/mm] auf gerade und ungerade zahlen für n.
dann kriege ich für
[mm] (a_{2n-1}) [/mm] = [mm] \bruch{-4k-4}{2k-1}
[/mm]
[mm] (a_{2n}) [/mm] = [mm] \bruch{4k+1}{k}
[/mm]
HP:= {-1/2 , 4 | HP von Teilfolgen von an}
limsup: 4
liminf: -1/2
----
Bitte um verbesserung, vorallem wie ich solche lösungen in einer Klausur schreiben darf. ich schätze mal das ich mehr mit definitionen statt sätzen arbeiten soll, jedoch finde ich es schwer.. das ganze abstrakte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:44 Mo 04.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> a)
> Sei
> A={ [mm]\bruch{1}{2n}[/mm] +1 | n [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Zeigen sie, dass das Sup und das Inf von A existiert und
> bestimmen sie es explizit. Existiert auch ein Maximum und
> ein Minimum von A?
>
> b)
> Beweisen sie oder wiederlegen sie die folgende Aussage:
> Sei [mm](a_{n})[/mm] eine Folge komplexer Zahlen mit Häufungspunkt
> a. Dann hat jede Teilfolge von [mm](a_{n})[/mm] den Punkt a
> ebenfalls als Häufungspunkt.
>
> c)
> Bestimmen sie die Häufungspunkte, sowie LimSup und LimInf
> für folgende reele Folge:
> [mm](a_{n})[/mm] = [mm]\bruch{n + (-1)^{n} (3n+2)}{n}[/mm]
>
> zu a)
> ich benutze die Eigenschaft von sup:= kleinste obere
> schranke. Für alle a [mm]\in[/mm] A existiert x sd. a [mm]\le[/mm] x
Diese Eigenschaft hat jedes a [mm] \in \IR: [/mm] nimm x=a.
Du meinst vielleicht:
es gibt ein x mit: a [mm] \le [/mm] x für jedes a [mm] \in [/mm] A.
Dann wäre x eine obere Schranke von A. I.a. aber nicht das Supremum von A.
> Max: Es existiert ein M [mm]\in[/mm] A sd. für alle a [mm]\in[/mm] A gilt a
> [mm]\le[/mm] M
> für Inf analog.
>
> A startet bei Wert 1
Nein, bei 3/2
> und somit ist dies das Supremum, da
> diese Zahl in der Menge enthalten ist, ist es gleichzeitig
> das maximum = 3/2
>
> A konvergiert gg 1, jedoch wird die 1 nicht erreicht. =>
> inf= 1, gedoch kein maximum
Du meinst Minimum.
Ob Deine Korrektoren das akzeptiere ???
>
> b)
> eine Teilfolge kann verschiedene Häufungspunkte haben,
> deshalb ist diese Aussage zu wiederlegen.
> Sei [mm](a_{n})[/mm] eine Folge, die [mm](-1)^{n}[/mm] enthält dann habe
> ich ja 2 verschiedene häufungspunkte, jedoch, besitzt die
> folge keinen HP (Bolzano)
Doch, sogar 2 !!!
> jetzt ist mir leider auf die schnelle keine folge
Nimm [mm] a_n=(-1)^n. [/mm] 1 ist HP von [mm] (a_n), [/mm] aber 1 ist nicht HP von [mm] (a_{2n-1})
[/mm]
> eingefallen. aber siehe als bsp aufgabe c)
> Reicht es so zu argumentieren?
>
> c)
> ich unterteile [mm](a_{n})[/mm] auf gerade und ungerade zahlen für
> n.
> dann kriege ich für
>
> [mm](a_{2n-1})[/mm] = [mm]\bruch{-4k-4}{2k-1}[/mm]
>
> [mm](a_{2n})[/mm] = [mm]\bruch{4k+1}{k}[/mm]
>
> HP:= {-1/2 , 4 | HP von Teilfolgen von an}
> limsup: 4
> liminf: -1/2
Das ist O.k
FRED
>
> ----
> Bitte um verbesserung, vorallem wie ich solche lösungen
> in einer Klausur schreiben darf. ich schätze mal das ich
> mehr mit definitionen statt sätzen arbeiten soll, jedoch
> finde ich es schwer.. das ganze abstrakte
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Mo 04.02.2013 | | Autor: | Aguero |
danke dir Fred
a) Mit dem startwert 1 meinte ich 1 [mm] \IN [/mm] sry
b) ja es gibt 2 HP bei dieser folge. ah ich habe da an eine reihe gedacht und meinte dass diese folge aufsummiert keine konvergenz besitzt da es zwischen -1 und 1 hin und her springt :)
wäre also b) und c) in ordnung?
kannst du mir die a) einmal in richtiger Schreibweise aufschreiben? wäre sehr nett. ich meine oft das richtige, jedoch weiß ich nicht wie ich es konkret aufschbreiben soll. möchte zur keiner aufgabe 20 sätze schreiben müssen, sondern lieber kurz und knapp
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Mo 04.02.2013 | | Autor: | fred97 |
1. Für alle n [mm] \in \IN [/mm] ist [mm] \bruch{1}{2n}+1 \le \bruch{1}{2}+1= \bruch{3}{2}.
[/mm]
Damit ist [mm] \bruch{3}{2} [/mm] eine obere Schranke von A.
Für n=1 ist [mm] \bruch{1}{2n}+1= \bruch{3}{2} \in [/mm] A.
Fazit: max(A)= sup(A) [mm] =\bruch{3}{2}
[/mm]
2. Für alle n [mm] \in \IN [/mm] ist [mm] \bruch{1}{2n}+1 \ge [/mm] 1.
Damit ist 1 eine untere Schranke von A.
Sei u eine untere Schranke von A. Annahme: u>1. Dann ist u-1>0. Wähle nun N [mm] \in \IN [/mm] so, dass [mm] \bruch{1}{2N} [/mm] < u-1.
Dann folgt:
[mm] \bruch{1}{2N}+1
Widerspruch. Also ist u [mm] \le [/mm] 1.
Fazit: inf(A)=1.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Mo 04.02.2013 | | Autor: | Aguero |
sehr schön, ich danke dir sieht super aus :)
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