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| Aufgabe | Für A,B [mm] \subseteq \IR [/mm] , x [mm] \in \IR [/mm] setzen wir
A+B:= { a+b | a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B }
AB:= { ab | a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B }
xA:= { xa | a [mm] \in [/mm] A }
Zeigen Sie für nach oben beschränkte [mm] \emptyset \not= [/mm] A,B [mm] \subseteq \IR
[/mm]
sup(A+B) = supA + supB
sup(AB) = supAsupB, falls A, B [mm] \subseteq [0,\infty[
[/mm]
sup(xA) = xsupA für [mm] x\ge [/mm] 0 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Eigentlich ist es ja klar das das gilt.
A={1,2} B={3,4}
A+B= {4,5,6}
Aber wie schreibt man das in einem Mathematischen Beweis auf.
Für die anderen zwei kann man auch noch so Beispiele finden, aber ich bräuchte einen Beweis.
Hat da jemand ein Tipp für mich, denn mir fällt im Moment gar nichts gescheites ein.
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> Für A,B [mm]\subseteq \IR[/mm] , x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
setzen wir
>
> A+B:= { a+b | a [mm]\in[/mm] A, b [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B }
> AB:= { ab | a [mm]\in[/mm] A, b [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B }
> xA:= { xa | a [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A }
>
> Zeigen Sie für nach oben beschränkte [mm]\emptyset \not=[/mm] A,B
> [mm]\subseteq \IR[/mm]
>
> sup(A+B) = supA + supB
> Eigentlich ist es ja klar das das gilt.
Hallo,
das wird als Beweis nicht so überzeugen, genausowenig wie ein Beispiel, welches für einen selbst aber trotzdem sehr nützlich ist.
Für den Beweis solltest Du erstmal über die Voraussetzung nachdenken.
A,B sind beschränkte Mengen.
Daraus kannst Du direkt etwas über die Existenz (!) v. Suprema folgern.
Zeigen mußt Du dann sup(A+B) = supA + supB.
Dies beinhaltet zweierlei:
1. supA + supB ist eine obere Schranke von A+B
2. es gibt keine kleinere obere Schranke von A+b als supA + supB
Diese Teilaussagen mußt Du zeigen.
Für 1. nimm Dir ein c [mm] \in [/mm] A+B her und mach glaubhaft, daß es [mm] \le [/mm] supA + supB ist.
Gruß v. Angela
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