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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Di 20.12.2011 | | Autor: | Amiaz |
| Aufgabe | Sei M [mm] \subset \IR [/mm] nach oben beschränkt und sei a eine obere Schranke zu M. Zeigen Sie: Wenn [mm] a_n \in [/mm] M existieren, sodass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = a , so gilt a = sup M
Hinweis: Widerspruchsbeweis. |
Irgendwie ist mir klar was da steht.
M ist beschränkt und der [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] geht gegen a. Dadurch folgt ja auch automatisch, dass a das Supremum ist.
Doch wie zeig ich das? Nehm ich an, dass a nicht das Supremum ist und zeig dann den Widerspruch?
wenn ja, wie genau setz ich da an?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Di 20.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei M [mm]\subset \IR[/mm] nach oben beschränkt und sei a eine
> obere Schranke zu M. Zeigen Sie: Wenn [mm]a_n \in[/mm] M existieren,
> sodass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = a , so gilt a =
> sup M
> Hinweis: Widerspruchsbeweis.
> Irgendwie ist mir klar was da steht.
> M ist beschränkt
M ist nur nach oben beschränkt !
> und der [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] geht
> gegen a.
nein. Der Limes von [mm] (a_n) [/mm] ist = a
> Dadurch folgt ja auch automatisch,
automatisch ?
> dass a das
> Supremum ist.
> Doch wie zeig ich das? Nehm ich an, dass a nicht das
> Supremum ist und zeig dann den Widerspruch?
> wenn ja, wie genau setz ich da an?
Sei s:= sup M. Annahme: a [mm] \ne [/mm] s. Da a eine obere Schranke von M ist, folgt: s<a. Nun haben wir:
[mm] a_n \le [/mm] s für jedes n.
Jetzt Du.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Mi 21.12.2011 | | Autor: | Amiaz |
Komm ich nicht dran weiter...
Ich soll doch nun mit der Annahme a < s das zum Widerspruch führen indem ich rausfinde, dass a = s ist?
Edit:
Hab nun weiter nachgedacht:
Also:
Können wir vorraussetzen, dass [mm] a_n \in [/mm] M und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = ist?
Dann wüssten wir ja, dass a der Limes ist. Zudem ist a eine obere Schranke. Daraus würde ja folgen, dass a das Supremum ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Mi 21.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Komm ich nicht dran weiter...
> Ich soll doch nun mit der Annahme a < s das zum
> Widerspruch führen indem ich rausfinde, dass a = s ist?
> Edit:
> Hab nun weiter nachgedacht:
> Also:
> Können wir vorraussetzen, dass [mm]a_n \in[/mm] M und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = ist?
Mann !!!!!!!!!!!!!!!!
Voraussetzungen sind:
1. a ist eine obere Schranke von M.
2. [mm] (a_n) [/mm] ist eine konvergente Folge in M mit Grenzwert a.
Zeigen sollst Du : a= sup M.
> Dann wüssten wir ja, dass a der Limes ist.
Mann, mann !!
Zudem ist a
> eine obere Schranke. Daraus würde ja folgen, dass a das
> Supremum ist.
Ja, aber warum ??????
So weit waren wir:
Sei s:= sup M. Annahme: a $ [mm] \ne [/mm] $ s. Da a eine obere Schranke von M ist, folgt: s<a. Nun haben wir:
$ [mm] a_n \le [/mm] $ s für jedes n.
Dann folgt: a [mm] \le [/mm] s, also a<a, Widerspruch !
FRED
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