Supremum/Infimum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechne (ohne formalen Beweis) die Suprema und Infima der folgenden Mengen. Entscheiden Sie außerdem, ob es sich um Minima oder maxima handelt.
a) [mm] M=\{n\inM: n^2 <10\}
[/mm]
b) [mm] M=\{\bruch{n}{n+m}: n\in\IN\}
[/mm]
c) [mm] M=\{\bruch{n}{2n+1}: n\in\IN\}
[/mm]
d) [mm] M=\{\bruch{n}{m}: n,m\in\IN :m+n\le10\} [/mm] |
okay....also ich soll nichts beweisen sondern nur zeigen (wenn ich das richtig verstanden habe)
a) [mm] M=\{n\in M: n^2 <10\}
[/mm]
supM=3----> Maximum von M
infM=1-----> Minimum von M
[mm] b)M=\{\bruch{n}{n+m}: n\in\IN\}
[/mm]
supM= 10--> Maximum von M
infM= 0----> kein Minimumvon M
[mm] c)M=\{\bruch{n}{2n+1}: n\in\IN\}
[/mm]
supM= 1----> kein Maximum
infM= 0--------> kein Minimum
d) [mm] M=\{\bruch{n}{m}: n,m\in\IN: m+n\le10\}
[/mm]
supM=1 ----> nicht Maximum
infM=1------> nicht Minimum
ich denke mal ich habe wieder so einige Schusseligkeitsfehler rein gehauen.
Aber ich versteh nicht genau den Unterschied zwischen Supremum und Maximum....Stimmt es, dass das maximum genauer definiert ist, also die Funktion/menge "näher" am maximum liegt als am Supremum?
Mathegirl
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Erstmal zu Supremum/Maximum. Ist eine Menge A (nach oben) beschränkt, dann nennt man die kleinste obere Schranke der Menge Supremum (eine obere Schranke ist dabei einfach eine Zahl c mit $c [mm] \ge [/mm] a$ [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A). Ist das Supremum sogar Teil der Menge, so bezeichnet man es auch als Maximum. Für Infimum/Minimum geht das analog.
Beispiel: [mm] A=\{\frac{1}{n}|n\in\IN\}. [/mm] Hier ist inf(A)=0, aber 0 ist kein Minimum, weil 0 [mm] \notin [/mm] A.
[mm] B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, [/mm] hier ist sup(B)=max(B)=9, inf(B)=min(B)=1.
Zu den Aufgaben:
a) Soll die Menge [mm] M=\{n \in \iN | n^2<10\} [/mm] sein? Dann wäre [mm] M=\{1,2,3\} [/mm] und du hast alles richtig gemacht.
b) Wie kommst du auf 10? Und ist [mm] m\in\IN?
[/mm]
c) Schau dir mal die Folge in der Menge an. Diese steigt streng monoton steigend und besitzt einen einfach zu berechnenden Grenzwert.
d) Hier musst du auch noch mal schauen. z.B. ist [mm] $\frac{7}{3} \in [/mm] M$, wegen 7+3=10, aber [mm] \frac{7}{3} [/mm] ist schon größer als dein berechnetes Supremum.
|
|
|
| |
|
Okay, also ein neuer versuch...
[mm] M={\bruch{n}{n+m}, m,n\in \IN}
[/mm]
supM=0,5-----> ist maximum von M
infM=0------> ist nicht Minimum von M
[mm] M={\bruch{n}{2n+1}, n\in\IN}
[/mm]
supM=0,5----> kein Maximum von M
infM=0-----> kein Minimum von M
[mm] M={\bruch{n}{m}, n,m\in\IN und m+n\le10}
[/mm]
supM=9----> Maximum von M
infM=0------> nicht Minimum von M
stimmt das jetzt so?
Mathegirl
|
|
|
| |
|
> Okay, also ein neuer versuch...
Hallo,
es wäre besser, würdest Du uns auch verraten, was Du Dir bei der Ermittlung der Suprema etc. gedacht hast, dann könnte man man Dir nämlich besser helfen, Deine Fehler zu verstehen.
>
> [mm]M={\bruch{n}{n+m}, m,n\in \IN}[/mm]
> supM=0,5-----> ist maximum
> von M
Das ist nicht richtig: [mm] \bruch{7}{7+3} [/mm] ist größer.
> infM=0------> ist nicht Minimum von M
stimmt
>
>
> [mm]M={\bruch{n}{2n+1}, n\in\IN}[/mm]
> supM=0,5----> kein Maximum
> von M
Ja.
> infM=0-----> kein Minimum von M
Bist Du Dir wirklich sicher, daß die 0 die kleinste untere Schranke ist?
Wenn ja, dann müßte es ja ein [mm] n\in \IN [/mm] geben, so daß [mm] \bruch{1}{n+1}< \bruch{1}{10} [/mm] ist. Gibt's das?
Bedenke also das Infimum neu.
>
>
> [mm]M={\bruch{n}{m}, n,m\in\IN und m+n\le10}[/mm]
> supM=9---->
> Maximum von M
> infM=0------> nicht Minimum von M
Es ist die 0 sicher eine untere Schranke Deiner Menge, aber die kleinste untere Schranke ist es nicht, denn ich kenne eine untere Schranke, die größer ist als Deine 0, nämlich [mm] $\bruch{87}{911}$ [/mm] s. Fragt sich bloß, ob's die kleinste ist...
>
> stimmt das jetzt so?
Nein.
Gruß v. Angela
>
>
> Mathegirl
|
|
|
| |
|
Hallo Angela, bei deiner letzten zeile
> >
> > [mm]M={\bruch{n}{m}, n,m\in\IN und m+n\le10}[/mm]
> > supM=9---->
> > Maximum von M
>
>
> > infM=0------> nicht Minimum von M
>
> Es ist die 0 sicher eine untere Schranke Deiner Menge, aber
> die kleinste untere Schranke ist es nicht, denn ich kenne
> eine untere Schranke, die größer ist als Deine 0,
> nämlich [mm]\bruch{111}{887}.[/mm]
n+m muss [mm] \le [/mm] 10 sein! also ist dein Bruch zu groß!
Ich könnte mir höchstens noch vorstellen, dass [mm] \bruch{1}{9}das [/mm] Infimum, also auch gleichzeitig Minimum ist!
Das Maximum von [mm] M={\bruch{n}{n+m}} [/mm] muss also 1 sein, und nicht 0,5. Stimmt das so? Aber 1 ist kein maximum!
[mm] M={\bruch{n}{2n+1}}
[/mm]
infM= [mm] \bruch{1}{3}und [/mm] ist somin auch Minimum.
Ich hoffe so stimmt es jetzt?
|
|
|
| |
|
> Hallo Angela, bei deiner letzten zeile
>
>
>
> > >
> > > [mm]M={\bruch{n}{m}, n,m\in\IN und m+n\le10}[/mm]
> > >
> supM=9---->
> > > Maximum von M
> >
> >
> > > infM=0------> nicht Minimum von M
> >
> > Es ist die 0 sicher eine untere Schranke Deiner Menge, aber
> > die kleinste untere Schranke ist es nicht, denn ich kenne
> > eine untere Schranke, die größer ist als Deine 0,
> > nämlich [mm]\bruch{111}{887}.[/mm]
>
> n+m muss [mm]\le[/mm] 10 sein! also ist dein Bruch zu groß!
Hallo,
mein Plan ist voll aufgegangen: ich wollte Dich ein bißchen provozieren bzw. aufwecken...
EDIT: Aber ich war etwas übereifrig. Du hast recht! das ist gar keine untere Schranke. Da war ich etwas unkonzentriert.
Es sollte wohl eher sowas wie [mm] $\bruch{87}{911}$ [/mm] sein.
Schau genau, was ich geschrieben habe schreiben wollte: ich habe nicht geschrieben wollte nicht geschrieben haben, daß [mm] $\bruch{87}{911}$ [/mm] das Minimum von M ist.
ich habe noch nicht einmal geschrieben wollte noch nicht einmal schreiben, daß [mm] $\bruch{87}{911}$ [/mm] das Infimum von M ist.
Beides wäre auch falsch gewesen.
Geschrieben habe ich schreiben wollte ich: [mm] $\bruch{87}{911}$ [/mm] ist eine untere Schranke von M, und das ist richtig. Du solltest Dir unbedingt überlegen, weshalb...
> Ich könnte mir höchstens noch vorstellen, dass
> [mm]\bruch{1}{9}das[/mm] Infimum, also auch gleichzeitig Minimum
> ist!
Das wäre eine gute Idee.
>
>
> Das Maximum von [mm]M={\bruch{n}{n+m}}[/mm] muss also 1 sein, und
> nicht 0,5. Stimmt das so? Aber 1 ist kein maximum!
Ja.
>
> [mm]M={\bruch{n}{2n+1}}[/mm]
> infM= [mm]\bruch{1}{3}und[/mm] ist somin auch Minimum.
Ja.
Gruß v. Angela
>
> Ich hoffe so stimmt es jetzt?
>
|
|
|
| |
|
das verstehe ich noch immer nicht, [mm] \bruch{111}{887} [/mm] ist EINE untere Schranke, aber nicht die kleinste! denn [mm] \bruch{1}{9} [/mm] ist doch noch kleiner!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Do 18.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> das verstehe ich noch immer nicht, [mm]\bruch{111}{887}[/mm] ist
> EINE untere Schranke, aber nicht die kleinste! denn
> [mm]\bruch{1}{9}[/mm] ist doch noch kleiner!
Was soll das ? eine kleinste untere Schranke gibt es nicht ! -12345678987654321 ist z.B. eine untere Schranke, ebenso
[mm] -123456^{98765432}
[/mm]
FRED
>
>
|
|
|
| |
|
Sorry aber das versteh ich nicht!!!! [mm] n+m\le [/mm] 10 , wie soll das denn gehen?? und [mm] n,m\in \IN.....da [/mm] müsste doch die kleinste schranke [mm] \bruch{1}{9} [/mm] sein!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Do 18.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sorry aber das versteh ich nicht!!!! [mm]n+m\le[/mm] 10 , wie soll
> das denn gehen?? und [mm]n,m\in \IN.....da[/mm] müsste doch die
> kleinste schranke [mm]\bruch{1}{9}[/mm] sein!
Jetzt pass mal gut Obacht ! Nehmen wir mal an eine Menge A [mm] \subseteq \IR [/mm] ist nach unten beschränkt und a sei eine untere Schranke von A.
Wir machen mal wieder ein Ratespiel:
Ist a-1 eine untere Schranke von A ?
Ist a-2 eine untere Schranke von A ?
Ist a-3 eine untere Schranke von A ?
Ist a-11234 eine untere Schranke von A ?
Gibt es eine kleinste untere Schranke von A ?
FRED
|
|
|
| |
|
bei deinem beispiel gibt es keine untere schranke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Do 18.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> bei deinem beispiel gibt es keine untere schranke!
Hä ?? Was habe ich oben geschrieben:
"Nehmen wir mal an eine Menge A $ [mm] \subseteq \IR [/mm] $ ist nach unten beschränkt und a sei eine untere Schranke von A. "
ein höchst erstaunter FRED !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Do 18.11.2010 | | Autor: | dfx |
Hallo,
möchtest wohl erraten haben, dass es jede $a-x$-beliebige untere Schranke von $A$ geben kann, da wir nichts über $A$ wissen, nur dass es nach unten beschränkt ist. Also ist wohl, wenn man mir eine Auswahl präsentiert, der kleinste Wert, der sich aus $a-x$ ergibt, meine untere Schranke $a$. M.a.w.: Da $A [mm] \subseteq \IR$ [/mm] nach unten beschränkt, gibt es eine untere Schranke $a$. Die kann $a$ sein, aber auch $a-x$ mit [mm] $x\in\IR$ [/mm] kann auch eine untere Schranke und somit wieder $a$ sein. Das ist etwas verwirrend, aber die Tatsache, dass es eine gibt, sagt nicht, wie sie aussieht, solange $A$ eine unbestimmte Teilmenge von [mm] \IR.
[/mm]
gruss, dfx
der Abstauber
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Do 18.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> möchtest wohl erraten haben, dass es jede [mm]a-x[/mm]-beliebige
> untere Schranke von [mm]A[/mm] geben kann, da wir nichts über [mm]A[/mm]
> wissen, nur dass es nach unten beschränkt ist. Also ist
> wohl, wenn man mir eine Auswahl präsentiert, der kleinste
> Wert, der sich aus [mm]a-x[/mm] ergibt, meine untere Schranke [mm]a[/mm].
Solch einen kleinsten Wert gibt es nicht !!!!
> M.a.w.: Da [mm]A \subseteq \IR[/mm] nach unten beschränkt, gibt es
> eine untere Schranke [mm]a[/mm]. Die kann [mm]a[/mm] sein, aber auch [mm]a-x[/mm] mit
> [mm]x\in\IR[/mm] kann auch eine untere Schranke
nein, nur für x>0
> und somit wieder [mm]a[/mm]
> sein.
Das verstehe wer will
Das ist etwas verwirrend, aber die Tatsache, dass es
> eine gibt, sagt nicht, wie sie aussieht, solange [mm]A[/mm] eine
> unbestimmte Teilmenge von [mm]\IR.[/mm]
Mein Gott, was ich unserem Mathegirl klar machen wollte ist:
eine nach unten beschränkte Menge hat keine kleinste untere Schranke
FRED
>
> gruss, dfx
> der Abstauber
|
|
|
| |
|
Was ist denn nun Supremum und Infimum?? Gibt kein Infimum oder was??
|
|
|
| |
|
> Was ist denn nun Supremum und Infimum?? Gibt kein Infimum
> oder was??
Hallo,
Du hattest das Infimum mit 1/9 doch längst bestimmt.
Ein Infimum gibt's, aber eben keine kleinste untere Schranke. Darum ging's am Ende.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> das verstehe ich noch immer nicht, [mm]\bruch{111}{887}[/mm] ist
> EINE untere Schranke, aber nicht die kleinste! denn
> [mm]\bruch{1}{9}[/mm] ist doch noch kleiner!
>
>
Hallo,
Du hast natürlich recht, Entschuldigung! Meine untere Schranke [mm] $\bruch{111}{887}$ [/mm] ist totaler Mist - weil es nämlich keine ist.
Den Grund dafür nennst Du oben: [mm] \bruch{1}{9} [/mm] ist in der Menge und größer.
Ich habe meine Antwort editiert und die Schranke ausgetauscht gegen [mm] \bruch{87}{911}.
[/mm]
Was ich Dir zeigen wollte war, daß 0 kein Infimum von M ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
