Supremum/Infimum einer Teilm. < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:08 Mo 18.04.2011 | | Autor: | xcrane |
| Aufgabe | Zeige:
[mm] \forall [/mm] a,b [mm] \varepsilon \IR [/mm] gilt sup({a,b}) = 1/2 (a + b + |a - b|) und inf({a,b}) = 1/2(a + b - |a - b|) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo
Leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht wirklich weiter bzw. mir fehlt insgesamt der Ansatz, wie ich die Summe a+b mit dem Betrag |a-b| "zusammenführen" kann, also welche Verbindung beide zueinander haben.
Für einen Tip wäre ich sehr dankbar ;)
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:40 Di 19.04.2011 | | Autor: | xcrane |
Problem hat sich gelöst.
Linke Seite:
sup=a oder sup = b
=> a<b oder a>b
Rechte Seite;
1/2(a+b+|a-b|)
Da das die Maximumsfunktion ist und sup({a,b}) entweder a oder b ist (wie oben gezeigt) und daraus folgt, dass die Menge ein Maximum hat, folgt daraus
sup({a,b}) = 1/2 (a+b+|a-b|).
Sollte eigentlich stimmen oder?
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:53 Di 19.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Problem hat sich gelöst.
>
> Linke Seite:
> sup=a oder sup = b
> => a<b oder a>b
Was meinst Du damit ? Was ist mit dem Falla=b ?
>
> Rechte Seite;
> 1/2(a+b+|a-b|)
> Da das die Maximumsfunktion ist und sup({a,b}) entweder a
> oder b ist (wie oben gezeigt) und daraus folgt, dass die
> Menge ein Maximum hat, folgt daraus
>
> sup({a,b}) = 1/2 (a+b+|a-b|).
???????????
>
> Sollte eigentlich stimmen oder?
Das würde ich als Lösung nie und nimmer durchgehen lassen !
FRED
>
> Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Di 19.04.2011 | | Autor: | xcrane |
Ich würde sagen, der Fall a=b kann nicht auftreten, denn wenn er gelte, würde es zwei Elmente mit der Eigenschaft geben, Supremum zu sein, was laut der Definition des Supremums nicht erlaubt ist oder liege ich da falsch?
Weiterhin gilt ja eigentlich laut Mengendefinition, dass ein Element nur einmal vorkommen kann oder?
Zumindest war das der Grund, warum ich diesen Fall weggelassen habe.
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Hallo xcrane,
> Ich würde sagen, der Fall a=b kann nicht auftreten, denn
> wenn er gelte, würde es zwei Elmente mit der Eigenschaft
> geben, Supremum zu sein, was laut der Definition des
> Supremums nicht erlaubt ist oder liege ich da falsch?
Gibt es nicht! In diesem Fall ist die Menge nur einelementig.
>
> Weiterhin gilt ja eigentlich laut Mengendefinition, dass
> ein Element nur einmal vorkommen kann oder?
Richtig. Es ist [mm] \{a,b\}=\{a\}, [/mm] falls a=b. Also ist a=b das eindeutige Supremum dieser Menge.
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> Zumindest war das der Grund, warum ich diesen Fall
> weggelassen habe.
Das kannst du nicht, die Aussage ist für alle [mm] a,b\in\IR [/mm] zu zeigen.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:56 Di 19.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeige:
> [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\varepsilon \IR[/mm] gilt sup({a,b}) = 1/2 (a + b +
> |a - b|) und inf({a,b}) = 1/2(a + b - |a - b|)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo
>
> Leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht wirklich weiter
> bzw. mir fehlt insgesamt der Ansatz, wie ich die Summe a+b
> mit dem Betrag |a-b| "zusammenführen" kann, also welche
> Verbindung beide zueinander haben.
>
> Für einen Tip wäre ich sehr dankbar ;)
Fall 1: a [mm] \ge [/mm] b. Dann ist sup({a,b})=a , |a-b|= a-b und damit ist
1/2 (a + b + |a - b|)=a
Den Fall 2 "a<b" machst Du jetzt mal.
FRED
>
> Grüße
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