Supremum Infimum und beschränk < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich habe da ein paar Probleme mit folgenden aufgaben:
1. Zeigen sie dass die Menge := [mm] {x\in\IR | (x-1)^2\le9}
[/mm]
beschränkt ist.
2. Bestimmen Sie supM1, infM2 sowie falls diese existieren, maxM1 und minM1.
Aufgabe 2:
Zeigen sie das die Menge
M2:={3- n/m| m,n [mm] \in \IN}
[/mm]
nach oben beschränkt ist.
b) bestimmen Sie sup M2
c) Hat M2 ein Maximum?
d Ist M2 nach unten beschränkt?
Also erst mal zur aufgabe 1.
Ich weiss nicht wie ich das am besten Schrittweise rechnen kann. Wenn jemand das korriegieren könnte und evt. ergänzen was ich hier so von mir gebe wäre das super!!!
Bei 1 habe ich 2 Fälle unterschieden, weiss aber nicht wie ich das dazu schreiben soll.
Ich habe gerechnet:
[mm] (x-1)^2 \le [/mm] 9 | [mm] \wurzel
[/mm]
x-1 [mm] \le [/mm] 3 | +1
x [mm] \le [/mm] 4
Das ist der erste Fall.
Jetzt gehe ich davon aus das das Quadrat auch negativ hätte sein können. Kann ich das jetzt einfach so schreiben?
2. Fall
[mm] (x-1)^2 \le [/mm] 9 | [mm] \wurzel
[/mm]
-x+1 ??????????
Ab hier komm ich nicht weiter weil ich nicht weiss wie sich die Vorzeichen ändern.
Ich gehe jetzt davon aus das mein Supremum 4 ist.
Aber wie rechne ich den 2. Fall?
Bei der 2. weiss ich noch nicht mal einen ansatz...
Kann mir jemand bitte sagen wie ich mit dem 2. Fall bei 1 umgehen muss, und wie ich bei Aufgabe zwei ansetze, ich habe das alles noch nicht wirklich verstanden...
Danke!
NIK
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Nik,
Du willst also zeigen, dass die Menge [mm] $M_1=\left\{ x\in\IR| (x-1)^2\le 9\right\}$ [/mm] beschränkt ist? Dafür reicht es doch, ein [mm] $s_o, s_u\in\IR$ [/mm] anzugeben, so dass für alle [mm] $x\in M_1$ [/mm] gilt [mm] $x\le s_o$ [/mm] (obere Schranke)bzw. [mm] $x\ge s_u$ [/mm] (untere Schranke).
Wegen [mm] $(x-1)^2\le [/mm] 9 [mm] \gdw [/mm] -3 [mm] \le [/mm] (x-1) [mm] \le [/mm] 3 [mm] \gdw [/mm] -2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 4$ kann man [mm] $s_o=4$ [/mm] und [mm] $s_u=-2$ [/mm] wählen.
Da [mm] $4\in M_1$ [/mm] und $2 [mm] \in M_1$ [/mm] gilt für alle [mm] $s's_u$, [/mm] dass sie nicht mehr Schranken sind, damit ist [mm] $\inf M_1 =\min M_1 [/mm] =-2$ und [mm] $\sup M_1=\max M_1=4$.
[/mm]
In dem anderen Beispiel musst du genauso vorgehen. Deine Menge ist [mm] $M_2=\left\{ 3-\frac{m}{n}|m,n\in\IN\right\}$.
[/mm]
Ich denke es ist klar, dass [mm] $M_2$ [/mm] wiederum nach oben beschränkt ist. Du kannst auch sicherlich leict die kleinste obere Schranke [mm] $\sup M_2$ [/mm] bestimmen. [mm] $M_2$ [/mm] hat nur dann ein Maximum, wenn es ein Element [mm] $\max M_2 \in \M_2$ [/mm] gibt, mit [mm] $x<\max M_2$ [/mm] für alle $x [mm] \in M_2$.
[/mm]
Ich denke jetzt weißt du auch ob [mm] $M_2$ [/mm] nach unten beschränkt ist.
Gruß Max 
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Hallo Max!
Danke schon mal für die Mühe!
Ich komme aber immer noch nicht wirklich klar...
Ich kann das mit dem [mm] -3\le(x-1)\le3
[/mm]
nicht wirklich nachvollziehen.
Ich versuche irgendwie eine Schrittweise lösung zu finden. Also erst muss ich das machen, dann das, etc.
Kann ich das denn nicht so berechnen wie ich das bei 1 oben versucht habe und dann an der Wurzelsache gescheitert bin weil ich nicht wusste wie ich das darstellen soll???
Bei zwei komme ich auch nicht wirklich weiter.
Ich nehme an, die Menge ist nach oben durch drei Beschränkt.
also ist das Supremum 3, das Maximum ist auchdrei ? Oder gehört die drei nicht zur Menge weil ich von ihr ja noch n/m abziehen muss???
Und nach unten ist M2 doch offen oder?
Wie zeige ich dass denn jetzt und vorallem wie schreibe ich das Mathematisch korrekt???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Nik,
für welche Zahlen ist denn [mm] $x^2$ [/mm] kleiner als $9$? Doch dann wenn $x<3$ ist, oder? Denn dann gilt ja [mm] $x^2<3^2$. [/mm] Dummerweise ist das so noch nicht ganz richtig, weil ja auch [mm] $(-4)^2=16>9$ [/mm] ist, deshalb darf die Zahl $x$ nicht kleiner als $-3$ werden [mm] ($(-3)^2=9$).
[/mm]
Gruß Max
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 So 17.04.2005 | | Autor: | Flugzwerg |
Hallo Max!
Nachdem ich nun erstmal eine Nacht darüber geschlafen habe und mich um andere Kurse gekümmert, fiel es mir gerade auch wie Schuppen von den Augen!
Aufgabe 2 ist natürlich mit 3 nach oben beschränkt, supM2 =3
hat kein max, weil alle Zahlen kleiner als 3 sind, und ist nicht nach unten beschränkt.
Danke nochmal für die Hilfe, manchmal ist es wohl besser man macht eine Pause bevor man nur noch Schwachsinn rechnet! *g*
Gruß,
NIK
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