Supremum und Infimum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] \emptyset \not= [/mm] M [mm] \subset \IR_{>0} [/mm] und inf M > 0.
Sei M' := [mm] {\bruch{1}{x}; x \in M }
[/mm]
Zeigen Sie, dass sup M' = (inf M) ^(-1) |
Das Supremum von M' ist 1. Hab ich das richtig verstanden. Bewiesen hätte ich das denn auch. Aber wie kann ich jetzt zeigen, dass es gleich dem inf M^(-1) ist. Zumal ich gar nicht weiß wie die Menge M aussieht. Ich kenne nur ein paar Eigenschaften von M.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank schon mal im Voraus!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo harry_hirsch,
> Sei [mm]\emptyset \not=[/mm] M [mm]\subset \IR_{>0}[/mm] und inf M > 0.
> Sei M' := [mm]{\bruch{1}{x}; x \in M }[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass sup M' = (inf M) ^(-1)
> Das Supremum von M' ist 1. Hab ich das richtig verstanden.
Das Sup von M' muß nicht 1 sein: Beispielsweise könnte $M:=[1/10, 1)$ sein. Was wäre dann das Sup von M'?
> Bewiesen hätte ich das denn auch. Aber wie kann ich jetzt
> zeigen, dass es gleich dem inf M^(-1) ist. Zumal ich gar
> nicht weiß wie die Menge M aussieht. Ich kenne nur ein paar
> Eigenschaften von M.
Mehr brauchst Du auch nicht: Definitionsgemäß ist $inf M [mm] \le [/mm] x$ für alle $x [mm] \in [/mm] M$; und außerdem ist's die größte unter den unteren Schranken von $M$. D.h.: Ist $r$ eine (positive) reelle Zahl, die ebenfalls kleiner ist als jedes $x [mm] \in [/mm] M$, dann ist $r [mm] \le [/mm] inf M$. Jetzt brauchst Du diese Ungleichungen nur noch so umzustellen, daß links $1/x$ steht.
Hth
zahlenspieler
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Moin!
Dass das sup M' nicht unbedingt 1 sein muss, seh ich ein. Wenn M : [1/10,1] wäre, dann ist das sup m' doch 10, oder? Und das inf M = 1 ???
Aber wenn es ein r gibt, welches kleiner ist als x (für alle x aus M), dann muss das inf M doch auch kleiner sein als dieses r?!
Und wie soll ich jetzt von den 3 Ungleichungen auf 1/x schließen?
Ich hab irgendwie echt Probleme beim Umschalten von M auf M' (und umgekehrt)
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Hallo harry_hirsch,
> Moin!
> Dass das sup M' nicht unbedingt 1 sein muss, seh ich ein.
> Wenn M : [1/10,1] wäre, dann ist das sup m' doch 10, oder?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Und das inf M = 1 ???
Nein $inf M'=1$  .
>
> Aber wenn es ein r gibt, welches kleiner ist als x (für
> alle x aus M), dann muss das inf M doch auch kleiner sein
> als dieses r?!
Auch wenn das getz pedantisch ist: $inf M$ ist eben so definiert, daß es die größte Zahl ist, die kleiner als jedes Element aus $M$ ist. Im Beispiel ist *jede* zahl $<1/10$ immer noch untere Schranke von $M$.
>
> Und wie soll ich jetzt von den 3 Ungleichungen auf 1/x
> schließen?
>
> Ich hab irgendwie echt Probleme beim Umschalten von M auf
> M' (und umgekehrt)
Nimm irgendein Element $x$ aus $M$; dann ist doch nach Aufgabenstellung $1/x [mm] \in [/mm] M'$. Du mußt nichts weiter tun, als 1. zu zeigen, daß $1/x [mm] \le [/mm] 1/inf M$ für beliebiges $x [mm] \in [/mm] M$ ist; und 2. daß aus $r [mm] \le [/mm] inf M$ $1/inf M [mm] \le [/mm] 1/r$ folgt. Um $r<0$ brauchste Dich nicht zu kümmern (warum?).
Mfg
zahlenspieler
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