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Supremum und Infimum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:47 Mo 21.05.2012
Autor: rollroll

Aufgabe
Zeige: In einem angeordneten Körper K gilt genau dann das Vollständigkeitsaxiom (jede nach oben beschränkte Teilmenge besitzt ein Sup in K), wenn jede nach unten beschränkte Teilmenge von K ein Infimum in K hat.

Es gilt x [mm] \le [/mm] a  [mm] \gdw [/mm] -a [mm] \le [/mm] -x.

a ist also genau dann kleinste obere Schranke für eine Menge M , wenn -a größte untere Schranke für [mm] M^{-1} [/mm] = {-x | x [mm] \in [/mm] M } ist.

Ist damit nicht schon alles gezeigt (weil ja Äquivalenz gilt)?

        
Bezug
Supremum und Infimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:50 Mo 21.05.2012
Autor: fred97


> Zeige: In einem angeordneten Körper K gilt genau dann das
> Vollständigkeitsaxiom (jede nach oben beschränkte
> Teilmenge besitzt ein Sup in K), wenn jede nach unten
> beschränkte Teilmenge von K ein Infimum in K hat.
>  Es gilt x [mm]\le[/mm] a  [mm]\gdw[/mm] -a [mm]\le[/mm] -x.
>  
> a ist also genau dann kleinste obere Schranke für eine
> Menge M , wenn -a größte untere Schranke für [mm]M^{-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

=

> {-x | x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

M } ist.

>  
> Ist damit nicht schon alles gezeigt (weil ja Äquivalenz
> gilt)?

Du hast schon die richtige Idee. Aber etwas aisführlicher sollt der Beweis schon sein.

FRED


Bezug
                
Bezug
Supremum und Infimum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:08 Mo 21.05.2012
Autor: rollroll

An welcher Stelle soll ich denn noch was ergänzen?

Bezug
                        
Bezug
Supremum und Infimum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:51 Di 22.05.2012
Autor: rollroll

Bzw. an welcher Stelle / welchen Stellen ist der Beweis denn unvollständig?

Bezug
                                
Bezug
Supremum und Infimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:34 Di 22.05.2012
Autor: angela.h.b.


> Bzw. an welcher Stelle / welchen Stellen ist der Beweis
> denn unvollständig?

Hallo,

Du machst Andeutungen, überläßt aber zu viel der Fantasie des Lesers.


Du willst für einen angeordneten Körper K zeigen:
jede nach oben beschränkte Teilmenge besitzt ein Sup in K
<==>
jede nach unten beschränkte Teilmenge von K hat ein Infimum in K.

"==>"
Hier würde man erwarten, daß es losgeht mit:
"sei M eine nach unten beschränkte Teilmenge von K."

Und dann müßtest Du mithilfe der Voraussetzung eine lückenlose Argumentation entwickeln, die darin gipfelt, daß M ein Infimum in K hat.

LG Angela



Bezug
                                        
Bezug
Supremum und Infimum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:11 Di 22.05.2012
Autor: rollroll

=> Sei also M eine nach oben beschränkte, nicht-leere Teilmenge von K.
Dann besitzt M eine obere Schranke a (sup(M)=a) und es gilt [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M:
x [mm] \le [/mm] a.  x [mm] \le [/mm] a ist äquivalent zu -a [mm] \le [/mm] -x.Also ist -a größte untere Schranke von M.  a ist also genau dann kleinste obere Schranke für eine Menge M, wenn -a größte untere Schranke für [mm] M^{-} [/mm] = {-x| x [mm] \in [/mm] M} ist. Also ist -a=inf(M). M besitzt also ein Infimum in K.

Ist die Hinrichtung so korrekt?

Bezug
                                                
Bezug
Supremum und Infimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:21 Di 22.05.2012
Autor: fred97


> => Sei also M eine nach oben beschränkte, nicht-leere
> Teilmenge von K.
>  Dann besitzt M eine obere Schranke a (sup(M)=a) und es
> gilt [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M:
>  x [mm]\le[/mm] a.  x [mm]\le[/mm] a ist äquivalent zu -a [mm]\le[/mm] -x.


> Also ist -a größte untere Schranke von M.  

Hier meinst Du wohl [mm] M^{-} [/mm]


Dass -a die größte untere Schranke von [mm] M^{-} [/mm] ist,  solltest Du noch begründen.




a ist also genau dann

> kleinste obere Schranke für eine Menge M, wenn -a größte
> untere Schranke für [mm]M^{-}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

= {-x| x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

M} ist. Also ist

> -a=inf(M). M besitzt also ein Infimum in K.
>  
> Ist die Hinrichtung so korrekt?

Ist der Delinquent denn auch wirklich tot ?

FRED


Bezug
                                                        
Bezug
Supremum und Infimum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:24 Di 22.05.2012
Autor: rollroll

Ok, danke. Die Rückrichtung geht ja dann analog dazu.
Ist das, was ich zur Lipschitz-konstante geschrieben (in einer anderen Frage) hatte, ok?

Bezug
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