Supremum und Infinum < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:36 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo,
ich habe folgende Aufg. zu lösen:
Es sei a [mm] \in \IR, [/mm] a>0. Bestimme, soweit existent, Supremum und Infimum von [mm] {a^{n}| n\in \IN}.
[/mm]
Ich weiß gar nicht, wie ich daran gehen soll. Nützlich für die Lösung der Aufgabe sollen binomischer Lehrsatz, sowie die Bernoullische Ungleichung seien. Ich weiß aber leider GAR NICHT, wie ich in diesem Zusammenhang anwenden soll. Bei dem binomischen Lehrsatz ist ja eine Summe, hier doch aber nicht. es steht ja nirgendwo, dass es sich um eine Reihe handelt...
Ich hoffe, mir kann jemand helfen!
Danke schon einmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:09 Sa 03.12.2005 | | Autor: | felixf |
> Hallo,
> ich habe folgende Aufg. zu lösen:
> Es sei a [mm]\in \IR,[/mm] a>0. Bestimme, soweit existent, Supremum
> und Infimum von [mm]{a^{n}| n\in \IN}.[/mm]
> Ich weiß gar nicht, wie
> ich daran gehen soll. Nützlich für die Lösung der Aufgabe
> sollen binomischer Lehrsatz, sowie die Bernoullische
> Ungleichung seien. Ich weiß aber leider GAR NICHT, wie ich
> in diesem Zusammenhang anwenden soll. Bei dem binomischen
> Lehrsatz ist ja eine Summe, hier doch aber nicht. es steht
> ja nirgendwo, dass es sich um eine Reihe handelt...
Mach erstmal eine Fallunterscheidung: a = 1, a < 1 und a > 1.
Ist a = 1 so ist es einfach 
Ist a > 1, so stellst du zuerst fest, dass [mm] $a^1 [/mm] < [mm] a^2 [/mm] < [mm] a^3 [/mm] < ...$ ist (warum?) (was bedeutet das fuer das Infiumum?). Nach Bernoulli ist nun [mm] $a^n [/mm] = (1 + [mm] (a-1))^n \ge [/mm] 1 + n (a-1)$, und da $a > 1$ ist $a-1 > 0$. Der Ausdruck wird also beliebig gross (was fuer Konsequenzen hat dies fuer das Supremum?).
Ist a < 1, so stellst du zuerst fest, dass [mm] $a^1 [/mm] > [mm] a^2 [/mm] > [mm] a^3 [/mm] > ...$ ist (warum?) (was bedeutet das fuer das Supremum?). Den Rest darfst du aber selber machen 
(Hinweis: [mm] $a^n [/mm] > x$ ist aequivalent zu $1 > x [mm] (1/a)^n$, [/mm] und $1/a > 1$. Was bedeutet das, wenn du $x > 0$ beliebig waehlst?)
HTH Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:47 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo;),
danke für deine Antwort. Ich habe leider aber immer noch Schwierigkeiten;( - irgendwie mag ich diese Suprema und Infima nicht!
> Mach erstmal eine Fallunterscheidung: a = 1, a < 1 und a >
> 1.
>
> Ist a = 1 so ist es einfach
Sind meine Überlegungen richtig, dass hier kein Supremum und Infimum vorliegt? Kommt ja immer 1 raus. Das ganze hat dann also weder eine kleinste obere (Sup) noch eine größte untere Schranke (Inf), oder?
> Ist a > 1, so stellst du zuerst fest, dass [mm]a^1 < a^2 < a^3 < ...[/mm]
> ist (warum?) Ja das verstehe ich. Die Potenzen sind dann ja immer steigend und die Zahl wird immer größer.
(was bedeutet das fuer das Infiumum?). Das Infimum müsste dann doch bei [mm] a^{1} [/mm] liegen, oder?
Nach
> Bernoulli ist nun [mm]a^n = (1 + (a-1))^n \ge 1 + n (a-1)[/mm], und
> da [mm]a > 1[/mm] ist [mm]a-1 > 0[/mm]. Der Ausdruck wird also beliebig gross
> (was fuer Konsequenzen hat dies fuer das Supremum?).
Da bin ich mir jetzt nicht sicher, was das Supremum sein soll. die kleinste obere Schranke ist dann vielleicht, wenn a=2 ist.... also insgesamt n+1... ich glaube, das ist aber falsch;(
> Ist a < 1, so stellst du zuerst fest, dass [mm]a^1 > a^2 > a^3 > ...[/mm]
> ist (warum?) Das sehe ich leider nicht ganz ein... Nimmt man -2 < 1 /ist ja auch in [mm] \IR), [/mm] dann stimmt das doch nicht. -2> 4 ist falsch... - wo ist mein Denkfehler???
(was bedeutet das fuer das Supremum?). ich verstehe das leider nicht ganz;(
Ich hoffe, du kannst mir dabei weiterhelfen. Vielen Dank schon einmal für deine Hilfe;)
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 Sa 03.12.2005 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> > Mach erstmal eine Fallunterscheidung: a = 1, a < 1 und a >
> > 1.
> >
> > Ist a = 1 so ist es einfach
> Sind meine Überlegungen richtig, dass hier kein Supremum
> und Infimum vorliegt?
Nein.
> Kommt ja immer 1 raus. Das ganze hat
> dann also weder eine kleinste obere (Sup) noch eine größte
> untere Schranke (Inf), oder?
Wie sieht denn die Menge der oberen (bzw. unteren) Schranken aus? Die oberen Schranken sind doch alle relle Zahlen r, die immer groessergleich 1 sind. Also hast du das Intervall [mm] $\left[1, \infty\right[$. [/mm] Und darin gibt es ja eine kleinste Zahl, und zwar 1, womit 1 die kleinste obere Schranke, also das Supremum ist! (Fuers Infimum ueberlass ich dir das jetzt selber.)
> > Ist a > 1, so stellst du zuerst fest, dass [mm]a^1 < a^2 < a^3 < ...[/mm]
> > ist (warum?) Ja das verstehe ich. Die Potenzen sind dann ja
> immer steigend und die Zahl wird immer größer.
>
> (was bedeutet das fuer das Infiumum?). Das Infimum müsste
> dann doch bei [mm]a^{1}[/mm] liegen, oder?
Genau. Die Menge der unteren Schranken sind alle Zahlen r, die kleinergleich allen [mm] $a^i, \; [/mm] i [mm] \in \IN$ [/mm] ist; und das sind gerade alle reellen Zahlen r, die $r [mm] \le a^1$ [/mm] erfuellen.
> Nach
> > Bernoulli ist nun [mm]a^n = (1 + (a-1))^n \ge 1 + n (a-1)[/mm], und
> > da [mm]a > 1[/mm] ist [mm]a-1 > 0[/mm]. Der Ausdruck wird also beliebig gross
> > (was fuer Konsequenzen hat dies fuer das Supremum?).
> Da bin ich mir jetzt nicht sicher, was das Supremum sein
> soll. die kleinste obere Schranke ist dann vielleicht, wenn
> a=2 ist.... also insgesamt n+1... ich glaube, das ist aber
> falsch;(
Ja das ist falsch, das Ergebnis haengt allerhoechstens von a ab aber nicht von n! Gib doch mal die Menge aller oberen Schranken und die Menge aller unterer Schranken explizit an.
> > Ist a < 1, so stellst du zuerst fest, dass [mm]a^1 > a^2 > a^3 > ...[/mm]
> > ist (warum?) Das sehe ich leider nicht ganz ein... Nimmt
> man -2 < 1 /ist ja auch in [mm]\IR),[/mm] dann stimmt das doch
Laut aufgabenstellung ist weiterhin $a > 0$, also geht -2 nicht
> nicht. -2> 4 ist falsch... - wo ist mein Denkfehler???
> (was bedeutet das fuer das Supremum?). ich verstehe das
> leider nicht ganz;(
Versuch mal die Menge aller oberer Schranken anzugeben. Und denk dran, mit obere Schranke ist eine reelle Zahl r gemeint, die groessergleich allen [mm] $a^i, \; [/mm] i [mm] \in \IN$ [/mm] ist!
HTH & LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo Felix,
danke für deine Antwort :).
Erster Fall: a=1
1 ist das Supremum und gleichzeitig das Infimum, ist das korrekt? Zum Infimum: untere Schranken sind alle reellen Zahlen, die [mm] \le [/mm] 1 sind. 1 ist also die größte untere Schranke (Inf).
zweiter Fall: a>1
also [mm] a^{1}
kann man ohne die Bernoullsche Ungleichung anzuwenden nicht hier schon sagen, dass obere Schranken all die reellen Zahlen r sind, die [mm] \ge a^{n}? [/mm] durch die Ungleichung erhalte ich
[mm] a^{n} \ge [/mm] 1+ n(a-1) Ist [mm] a^{n} [/mm] dann nicht das Supremum? Wozu brauche ich die Ungleichnung?
dritter Fall a<1
[mm] a^{1} [/mm] > ... > [mm] a^{n} [/mm] meine Überlegung: Obere Schranken sind alle reelle Zahlen r, die [mm] \ge a^{1} [/mm] sind. [mm] a^{1} [/mm] ist also die kleinste obere Schranke (Sup). Untere Schranken sind demgegenüber alle r [mm] \le a^{n}. a^{n} [/mm] müsste dann also das Infimum (größte untere Schranke) sein, oder nicht?
Eine allgemeine Frage habe ich auch noch: Warum unterscheide ich eigentlich a=1, a<1 und a>1? Könnte ich nicht auch z.B. 0,5 nehmen oder andere Zahlen? a ist ja aus [mm] \IR [/mm] mit der Einschränkung >0.
Viiiieeelen Dank für deine Hilfe:)!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Sa 03.12.2005 | | Autor: | felixf |
Hallo Nescio,
> Erster Fall: a=1
> 1 ist das Supremum und gleichzeitig das Infimum, ist das
> korrekt?
das ist korrekt!
> zweiter Fall: a>1
> also [mm]a^{1}
> kann man ohne die Bernoullsche
> Ungleichung anzuwenden nicht hier schon sagen, dass obere
> Schranken all die reellen Zahlen r sind, die [mm]\ge a^{n}?[/mm]
Vorsicht!!! Obere Schranke heisst, das es eine obere Schranke fuer alle n ist! Hier hast du dir wieder ein spezielles n rausgepickt!
> durch die Ungleichung erhalte ich
> [mm]a^{n} \ge[/mm] 1+ n(a-1) Ist [mm]a^{n}[/mm] dann nicht das Supremum?
Aber nur fuer die Menge [mm] \{ a^n \} [/mm] fuer ein festes n. Und die hat Infimum = Supremum = Minimum = Maximum = [mm] a^n, [/mm] und das ist langweillig
> Wozu brauche ich die Ungleichnung?
Um zu zeigen, dass [mm] a^n [/mm] beliebig gross wird wenn n gegen unendlich geht. (Oder anders gesagt, dass [mm] a^n [/mm] fuer n gegen unendlich gegen unendlich divergiert/konvergiert.)
> dritter Fall a<1
> [mm]a^{1}[/mm] > ... > [mm]a^{n}[/mm] meine Überlegung: Obere Schranken
> sind alle reelle Zahlen r, die [mm]\ge a^{1}[/mm] sind. [mm]a^{1}[/mm] ist
> also die kleinste obere Schranke (Sup).
Genau.
> Untere Schranken
> sind demgegenüber alle r [mm]\le a^{n}. a^{n}[/mm] müsste dann also
> das Infimum (größte untere Schranke) sein, oder nicht?
Genauso wie oben: es muessen untere Schranken fuer alle [mm] $a^n, \; [/mm] n aus [mm] \IN$ [/mm] gleichzeitig!!! 0 ist zum Beispiel eine untere Schanke, da aus $a > 0$ auch [mm] $a^n [/mm] > 0$ fuer alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] folgt. Und ebenso alle Zahlen kleiner 0. Wie sieht das mit Zahlen $> 0$ aus?
> Eine allgemeine Frage habe ich auch noch: Warum
> unterscheide ich eigentlich a=1, a<1 und a>1? Könnte ich
> nicht auch z.B. 0,5 nehmen oder andere Zahlen? a ist ja aus
> [mm]\IR[/mm] mit der Einschränkung >0.
Natuerlich, das kannst du auch. Allerdings musst du trotzdem weiterhin die Faelle < 1, = 1 und > 1 unterscheiden, da fuer diese drei Faelle gerade die drei verschiedenen Loesungsklassen auftreten. (Wenn du z.B. noch unterscheidest, ob 0 < a < 0.5 oder a = 0.5 oder 0.5 < a < 1 ist, kommt bei allen drei immer das gleiche raus.)
> Viiiieeelen Dank für deine Hilfe:)!!!
Bitte :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 So 04.12.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo Felix,
ich bin's leider schon wieder. Zunächst einmal danke für deine Antwort!
Ich weiß einfach nicht genau, wie ich Sup vom 2. Fall und Inf vom dritten Fall bestimmen soll:
Zum zweiten Fall:
Durch die Bernoullische Ungleichung steht dann:
[mm] a^{n}=(1+(a-1))^{n} \ge [/mm] 1+ n(a-1)
Zur rechten Seite: Da a>1 und a-1>0 wird der Ausdruck bei n gegen unendlich ja beliebig groß. Sind dann vielleicht alle reellen Zahlen r große Schranken, die [mm] \ge [/mm] 1+ n(a-1) sind? Das Supremum wäre dann 1+ n(a-1)?
Ich weiß, du hast gesagt, dass nichts von n abhängen darf, aber ich weiß einfach nicht, wie es sonst gehen soll.... Dass das Sup nicht [mm] a^{n} [/mm] ist könnte man dann ja so begründen, weil es noch eine kleinere obere Schranke gibt, nämlich 1+ n(a-1). Wieso meinst du denn, dass ich mir nur ein spezielles n herausgepickt habe? Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch!
> > kann ich nicht hier schon sagen, dass obere
> > Schranken all die reellen Zahlen r sind, die [mm]\ge a^{n}?[/mm]
>
> Vorsicht!!! Obere Schranke heisst, das es eine obere
> Schranke fuer alle n ist! Hier hast du dir wieder ein
> spezielles n rausgepickt!
Dritter Fall a<1
> > Untere Schranken
> > sind demgegenüber alle r [mm]\le a^{n}. a^{n}[/mm]= Inf
> Genauso wie oben: es muessen untere Schranken fuer alle
> [mm]a^n, \; n aus \IN[/mm] gleichzeitig!!! 0 ist zum Beispiel eine
> untere Schanke, da aus [mm]a > 0[/mm] auch [mm]a^n > 0[/mm] fuer alle [mm]n \in \IN[/mm]
> folgt. Und ebenso alle Zahlen kleiner 0. Wie sieht das mit
> Zahlen [mm]> 0[/mm] aus?
Das verstehe ic nicht ganz. Selbst, wenn 0 eine Untere Schranke ist und es gilt: [mm] a^{n} [/mm] > 0, dann ist doch [mm] a^{n} [/mm] eben die größte untere Schranke - also Inf. Das gleiche gilt doch auch für alle Zahlen < 0.
Zahlen größer 0 können doch keine unteren schranken sein, oder?
Entschuldige, dass ich so schwer von Begriff bin und danke schon einmal fü deine Antwort
Liebe Grüße
Nescio
> > Eine allgemeine Frage habe ich auch noch: Warum
> > unterscheide ich eigentlich a=1, a<1 und a>1? Könnte ich
> > nicht auch z.B. 0,5 nehmen oder andere Zahlen? a ist ja aus
> > [mm]\IR[/mm] mit der Einschränkung >0.
>
> Natuerlich, das kannst du auch. Allerdings musst du
> trotzdem weiterhin die Faelle < 1, = 1 und > 1
> unterscheiden, da fuer diese drei Faelle gerade die drei
> verschiedenen Loesungsklassen auftreten. (Wenn du z.B. noch
> unterscheidest, ob 0 < a < 0.5 oder a = 0.5 oder 0.5 < a <
> 1 ist, kommt bei allen drei immer das gleiche raus.)
>
> > Viiiieeelen Dank für deine Hilfe:)!!!
>
> Bitte :)
>
> LG Felix
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 So 04.12.2005 | | Autor: | SEcki |
> Zum zweiten Fall:
> Durch die Bernoullische Ungleichung steht dann:
> [mm]a^{n}=(1+(a-1))^{n} \ge[/mm] 1+ n(a-1)
> Zur rechten Seite: Da a>1 und a-1>0 wird der Ausdruck bei
> n gegen unendlich ja beliebig groß. Sind dann vielleicht
> alle reellen Zahlen r große Schranken, die [mm]\ge[/mm] 1+ n(a-1)
> sind? Das Supremum wäre dann 1+ n(a-1)?
Nein, wieder nicht. Wir drehen uns im Kreis, irgendwie. Wir lassen n über alle (alle, alle) natürlichen Zahlen laufen. Kein fixiertes n. Es gibt keine obere Schranke für die Menge - es gibt kein (eigentliches) Supremum. Zeige das so: angenommen r wäre eine obere Schranke - warum existiert dann eine natürliche Zahl n mit [m]n>\bruch{r-1}{a-1}[/m]. Was folgt dann?
> Ich weiß, du hast gesagt, dass nichts von n abhängen darf,
> aber ich weiß einfach nicht, wie es sonst gehen soll....
Da es nicht geht, ist das kein Wunder.
> Das verstehe ic nicht ganz. Selbst, wenn 0 eine Untere
> Schranke ist und es gilt: [mm]a^{n}[/mm] > 0, dann ist doch [mm]a^{n}[/mm]
> eben die größte untere Schranke - also Inf.
Nein, nicht für alle n.
> Das gleiche
> gilt doch auch für alle Zahlen < 0.
> Zahlen größer 0 können doch keine unteren schranken sein,
> oder?
Ja, aber warum? Was ist also das Infimum? (Denn du hast es schon hingeschrieben.)
SEcki
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