Supremum und Infinum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 Fr 09.11.2007 | | Autor: | Elfe |
| Aufgabe | Bestimmen Sie Supremum und Infinum der folgenden Mengen:
A = [mm] \{x\in \IR | |x^{2}-9| < 1\}
[/mm]
B = [mm] \bigcup_{n\in \IN}^{} \{x\in \IR | |x - \bruch{1}{n}| \le \bruch{3}{n}\} [/mm]
C = [mm] \bigcap_{n\in \IN}^{} \{x\in \IR | \bruch{1}{n} - 1 \le x \le 1 - \bruch{1}{n}\}
[/mm]
D = [mm] \{ \bruch{2b^{n}}{n!} | n\in \IN \} [/mm] |
Hallo,
ich bin mir bei manchen Sachen nicht so ganz sicher wie das mit dem Supremum und dem Infinum so ist. Ich befürchte, ich bin mir auch noch überhaupt nicht sicher mit diesen beiden Begriffen.
Also bei A würde ich sagen, dass das Supremum [mm] \wurzel{10} [/mm] und das Infinum [mm] -\wurzel{10}. [/mm]
Bei B und C kann ich mir nicht so recht vorstellen, wie das Aussehen soll mit dem Infinum und dem Supremum weil das ja irgendwie noch mit der Vereinigung und dem Schnitt zu tun hat. Wäre wirklich nett, wenn ich da eine kleine Hilfestellung bekommen könnte...
Und bei D behaupte ich mal, dass das Supremum die 2 ist und das Infinum die 0.
Und jetzt ist die Frage: Ist das richtig?
Und ich wollte noch fragen, wie genau ich das verschriftlichen soll, wenn die Frage so gestellt ist. Soll ich einfach schreiben: sup(A) = [mm] \wurzel{10} [/mm] oder muss ich da noch irgendwas begründen, rechnen oder sonstiges?
lg Elfe
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> Bestimmen Sie Supremum und Infinum der folgenden Mengen:
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> A = [mm]\{x\in \IR | |x^{2}-9| < 1\}[/mm]
>
> B = [mm]\bigcup_{n\in \IN}^{} \{x\in \IR | |x - \bruch{1}{n}| \le \bruch{3}{n}\}[/mm]
>
> C = [mm]\bigcap_{n\in \IN}^{} \{x\in \IR | \bruch{1}{n} - 1 \le x \le 1 - \bruch{1}{n}\}[/mm]
>
> D = [mm]\{ \bruch{2b^{n}}{n!} | n\in \IN \}[/mm]
> Bei B und C kann ich mir nicht so recht vorstellen, wie das
> Aussehen soll mit dem Infinum und dem Supremum weil das ja
> irgendwie noch mit der Vereinigung und dem Schnitt zu tun
> hat. Wäre wirklich nett, wenn ich da eine kleine
> Hilfestellung bekommen könnte...
Hallo,
B = [mm]\bigcup_{n\in \IN}^{} \{x\in \IR | |x - \bruch{1}{n}| \le \bruch{3}{n}\}[/mm]
[mm] =\{x\in \IR | |x - \bruch{1}{1}| \le \bruch{3}{1}\} \cup \{x\in \IR | |x - \bruch{1}{2}| \le \bruch{3}{2}\}\cup \{x\in \IR | |x - \bruch{1}{3}| \le \bruch{3}{3}\} \cup \{x\in \IR | |x - \bruch{1}{4}| \le \bruch{3}{4}\} \cup [/mm] ...
Bei C entsprechend, nur eben Schnitte.
>
> Und bei D behaupte ich mal, dass das Supremum die 2 ist und
> das Infinum die 0.
Bei D mußt Du bedenken, daß Du das b mit drin hast. Es ist anzunehmen, daß sup und inf falls vorhanden eventuell auch von b abhängen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Elfe |
Hallo,
verzeih mir Angela, ich weiß echt nicht wie ich so schusselig sein konnte. Aber bei B und C muss das Schnitt- und Vereinigungsmengenzeichen vertauscht werden.
Dann hab ich zu B eine Frage... Hat diese Menge überhaupt eine obere Schranke? Oder ist das Supremum dann einfach die Menge [mm] \{x\in \IR | \bruch{1}{n}-1 \le x \le 1-\bruch{1}{n} \} [/mm] ? Bin ganz verwirrt. Und das Infinum die Menge [mm] \{x\in \IR | 0 \le x \le 0 \} [/mm] (also x=0) ?
Irgendwie kann ich mir das nicht so recht vorstellen.
Und bei C nicht wirklich, wegen dem [mm] \cap. [/mm] Ich weiß nicht so richtig, welches Element die alle gemeinsam haben, also welche Menge.
lg Elfe
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> verzeih mir Angela, ich weiß echt nicht wie ich so
> schusselig sein konnte. Aber bei B und C muss das Schnitt-
> und Vereinigungsmengenzeichen vertauscht werden.
Hallo,
Dir ist aber aufgefallen, daß das, was man beim Formeleditor eingeben muß, für sich selber spricht: cup für Vereinigung, denn in der Tasse kommt alles zusammen...
> Irgendwie kann ich mir das nicht so recht vorstellen.
Du mußt als erstes mal herausfinden, welche Elemente in den einzelnen Mengen, die hier geschnitten bzw. vereinigt werden werden, drin sind. Dann sieht man schon etwas klarer.
Scheib oder mal dir die für ein Paar n doch mal auf.
Bevor wir weiterreden, solltest Du aber auch nochmal aufschreiben, was denn B und C nun sein sollen.
Das mit den verkehrten Zeichen konnte ich ja noch umsetzen, aber nach dem, was Du weiter schreibst, blicke ich nicht mehr durch.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Elfe |
Okay, es tut mir erstmal wirklich wahnsinnig leid, dass ich so verwirrend war! Ich weiß, dass es ganz klar nicht von Vorteil ist für andere und ich will es jetzt nochmal anständig versuchen. Aaaaalso jetzt mal komplett neuer Ansatz:
B = [mm] \bigcup_{n\in \IN}^{} \{x\in \IR | \bruch{1}{n} - 1 \le x \le 1 - \bruch{1}{n} \}
[/mm]
Ist ja also:
B = [mm] \{x\in \IR | 0 \le x \le 0 \} \cup \{ x\in \IR | - \bruch{1}{2} \le x \le \bruch{1}{2} \} \cup \{x\in \IR | -\bruch{2}{3} \le x \le \bruch{2}{3} \} \cup [/mm] ... [mm] \cup \{x\in \IR | \bruch{1}{n} - 1 \le x \le 1 - \bruch{1}{n} \}
[/mm]
Das Supremum ist:
sup(B) = [mm] \{x\in \IR | 0 \le x \le 0 \} [/mm] (Also x=0)
Und das Infinum ist:
inf(B) = [mm] \{x\in \IR | \bruch{1}{n} - 1 \le x \le 1 - \bruch{1}{n} \}
[/mm]
Und C:
C = [mm] \bigcap_{n\in \IN}^{} \{ x\in \IR | |x-\bruch{1}{n} | \le \bruch{3}{n} \}
[/mm]
C = [mm] \{ x\in \IR | -2 \le x \le 4 \} \cap \{ x\in \IR | -1 \le x \le 2 \} \cap \{ x\in \IR | -\bruch{2}{3} \le x \le \bruch{4}{3} \} \cap [/mm] ... [mm] \cap [/mm] ?
Also ich kann mir das nicht so recht erschließen wie das Element mit n=n aussieht.
Und das Supremum und Infinum dieser Menge... das weiß ich auch nicht so recht, weil ich nicht wirklich weiß, welche dieser einzelnen Elemente (/Mengen) alle in einem Schnitt liegen.
Lg Elfe
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> Okay, es tut mir erstmal wirklich wahnsinnig leid, dass ich
> so verwirrend war! Ich weiß, dass es ganz klar nicht von
> Vorteil ist für andere und ich will es jetzt nochmal
> anständig versuchen. Aaaaalso jetzt mal komplett neuer
> Ansatz:
>
> B = [mm]\bigcup_{n\in \IN}^{} \{x\in \IR | \bruch{1}{n} - 1 \le x \le 1 - \bruch{1}{n} \}[/mm]
>
> Ist ja also:
>
> B = [mm]\{x\in \IR | 0 \le x \le 0 \} \cup \{ x\in \IR | - \bruch{1}{2} \le x \le \bruch{1}{2} \} \cup \{x\in \IR | -\bruch{2}{3} \le x \le \bruch{2}{3} \} \cup[/mm]
> ... [mm]\cup \{x\in \IR | \bruch{1}{n} - 1 \le x \le 1 - \bruch{1}{n} \}[/mm]
Hallo,
das ist nicht ganz richtig. Das Vereinigen hört ja niemals auf, denn Du sollst über alle [mm] n\in \IN [/mm] vereinigen.
Also kommt hinter Deine letzte Menge noch ein [mm] \cup [/mm] ..., weil das immer weiter geht.
Nun schau Dir das doch mal an: es ist doch immer eine Menge Teilmenge der nächsten (mal sie Dir am Zahlenstrahl auf), und all diese Mengen vereinigst Du.
Nun überlege Dir, in welche Menge die alle zusammen hineinpassen.
> Und C:
> C = [mm]\bigcap_{n\in \IN}^{} \{ x\in \IR | |x-\bruch{1}{n} | \le \bruch{3}{n} \}[/mm]
>
> C = [mm]\{ x\in \IR | -2 \le x \le 4 \} \cap \{ x\in \IR | -1 \le x \le 2 \} \cap \{ x\in \IR | -\bruch{2}{3} \le x \le \bruch{4}{3} \} \cap[/mm]
> ... [mm]\cap[/mm] ?
>
Mal Dir auch hier die Mengen am Zahlenstrahl auf und überlege Dir, welche Menge in allen dieser Mengen drin liegt.
Das ist dann der Schnitt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Elfe |
Hallo,
> das ist nicht ganz richtig. Das Vereinigen hört ja niemals
> auf, denn Du sollst über alle [mm]n\in \IN[/mm] vereinigen.
>
> Also kommt hinter Deine letzte Menge noch ein [mm]\cup[/mm] ...,
> weil das immer weiter geht.
>
> Nun schau Dir das doch mal an: es ist doch immer eine Menge
> Teilmenge der nächsten (mal sie Dir am Zahlenstrahl auf),
> und all diese Mengen vereinigst Du.
>
> Nun überlege Dir, in welche Menge die alle zusammen
> hineinpassen.
>
>
Also ich hab mir das mal versucht aufzumalen und alle Mengen liegen in der Menge [mm] \{x\in \IR | -1 < x < 1\} [/mm] Hmm... richtig? Wäre das dann denn < oder [mm] \le [/mm] ? Ich würde nämlich eher sagen <
Wäre dann das Supremum 1 und das Infinum -1?
> Mal Dir auch hier die Mengen am Zahlenstrahl auf und
> überlege Dir, welche Menge in allen dieser Mengen drin
> liegt.
> Das ist dann der Schnitt.
>
Auch das habe ich mal versucht mir aufzumalen. Da würde ich sagen, dass die einzige Menge, die in allen Mengen liegt, die Menge [mm] \{ x\in \IR | x=0 \}. [/mm] Ist das möglich?
Und gäbe es dann Supremum und Infinum oder wären die beide einfach 0 ?
Danke Angela, für die viele Hilfe, die du mir bisher schon gegeben hast!
LG Elfe
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> Also ich hab mir das mal versucht aufzumalen und alle
> Mengen liegen in der Menge [mm]\{x\in \IR | -1 < x < 1\}[/mm] Hmm...
> richtig? Wäre das dann denn < oder [mm]\le[/mm] ?
Hallo,
<, denn die 1 wird ja nie erreicht.
Ist aber egal, für das, was als nächstes geschieht:
> Ich würde nämlich
> eher sagen <
> Wäre dann das Supremum 1 und das Infinum -1?
Sieht doch stark danach aus.
Behaupte es und beweise es.
Zuerst obere Schranke, dann kleinste obere Schranke.
Fürs Inf. entsprechend.
>
>
> > Mal Dir auch hier die Mengen am Zahlenstrahl auf und
> > überlege Dir, welche Menge in allen dieser Mengen drin
> > liegt.
> > Das ist dann der Schnitt.
> >
>
> Auch das habe ich mal versucht mir aufzumalen. Da würde ich
> sagen, dass die einzige Menge, die in allen Mengen liegt,
> die Menge [mm]\{ x\in \IR | x=0 \}.[/mm] Ist das möglich?
Ja, das ist auch das, was ich mir überlegt habe.
> Und gäbe es dann Supremum und Infinum oder wären die beide
> einfach 0 ?
Sie wären beide =0.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Elfe |
Ich danke dir wirklich sehr! Das hat mir wirklich weitergeholfen und ist jetzt auch klar! Schafft meine Vorlesung nicht mir das zu vermitteln 
Danke
LG Elfe
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> Bestimmen Sie Supremum und Infinum der folgenden Mengen:
>
> A = [mm]\{x\in \IR | |x^{2}-9| < 1\}[/mm]
> Also bei A würde ich sagen, dass das Supremum [mm]\wurzel{10}[/mm]
> und das Infinum [mm]-\wurzel{10}.[/mm]
> Und ich wollte noch fragen, wie genau ich das
> verschriftlichen soll, wenn die Frage so gestellt ist. Soll
> ich einfach schreiben: sup(A) = [mm]\wurzel{10}[/mm] oder muss ich
> da noch irgendwas begründen, rechnen oder sonstiges?
Hallo,
ja, Du mußt Deine Behauptung natürlich beweisen.
Zeige fürs Supremum zuerst, daß [mm] \wurzel{10} [/mm] eine obere Schranke von A ist.
Danach mußt Du zeigen, daß es die kleinste obere Schranke ist, daß also für kein d>0 [mm] \wurzel{10}-d [/mm] eine obere Schranke ist.
Das Infimum entsprechend.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Elfe |
Hallo,
also erstmal tut mir leid, ich hab mich bei D vertippt und da kommt kein b vor. Wenn das nicht vorkommt, dann ist meine Annahme doch aber richtig, oder?
> ja, Du mußt Deine Behauptung natürlich beweisen.
>
> Zeige fürs Supremum zuerst, daß [mm]\wurzel{10}[/mm] eine obere
> Schranke von A ist.
>
Also bei A... wenn es eine obere Schranke sein soll, dann muss ja gelten, dass für alle [mm] x\in [/mm] A gilt dass x [mm] \le [/mm] s wenn s die obere Schranke sein soll. Bei mir ist das s ja die [mm] \wurzel{10} [/mm] Jetzt frage ich mich, versuche ich einfach erstmal diesen Betrag < 1 aufzulösen nach x und zeige dann damit, dass s obere Schranke ist oder wie mach ich das?
> Danach mußt Du zeigen, daß es die kleinste obere Schranke
> ist, daß also für kein d>0 [mm]\wurzel{10}-d[/mm] eine obere
> Schranke ist.
>
Gruß Elfe
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> also erstmal tut mir leid, ich hab mich bei D vertippt und
> da kommt kein b vor. Wenn das nicht vorkommt, dann ist
> meine Annahme doch aber richtig, oder?
Hallo,
ja, dann stimmt das.
> Also bei A... wenn es eine obere Schranke sein soll, dann
> muss ja gelten, dass für alle [mm]x\in[/mm] A gilt dass x [mm]\le[/mm] s wenn
> s die obere Schranke sein soll. Bei mir ist das s ja die
> [mm]\wurzel{10}[/mm] Jetzt frage ich mich, versuche ich einfach
> erstmal diesen Betrag < 1 aufzulösen nach x und zeige dann
> damit, dass s obere Schranke ist oder wie mach ich das?
Ja, so würde ich es machen.
Daraus folgt dann ja auf direktem Wege die obere und untere Schranke.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:46 Di 13.11.2007 | | Autor: | U-Gen |
hey, hab eine Frage zu der D ! Kann ich das inf so beweisen :
"Inf (D) = 0" : 0 ist eine untere Schranke von D.
Angenommen s [mm] \in \IR [/mm] ist eine untere Schranke von D mit 0 < s.
Weil s von D ist, gilt dann s [mm] \le \bruch{2^{n}}{n!} [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Dies bedeutet n! [mm] \le [/mm] s * [mm] 2^{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Wiederspruch zu Axio von Archimedes.
Danke !!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 Di 13.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo U-Gen!
Du musst hier aufpassen: ist denn $0_$ auch wirklich eine untere Schranke, wenn $b \ < \ 0$ ?
Gruß
Loddar
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