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Hi,
das Supremumsaxiom lautet ja "Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von [mm] \IR [/mm] hat ein Supremum!"
Dann taucht ja oft ein Satz auf wie "In [mm] \IQ [/mm] gilt das Supremumsaxiom nicht (sonst wäre [mm] \wurzel{2} \in \IQ)."
[/mm]
Nimmt man dann die Menge A:={x [mm] \in \IR [/mm] | x² < 2} so weiß man ja, dass [mm] \wurzel{2} [/mm] hier das Supremum wäre, aber [mm] \wurzel{2} \not\in \IQ [/mm] liegt.
Das ist mir auch eigtl. alles klar, aber müsste das Supremumsaxiom dann auch nicht in [mm] \IN [/mm] gelten, da [mm] \wurzel{2} \not\in \IN [/mm] ist?
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> Hi,
> das Supremumsaxiom lautet ja "Jede nichtleere nach oben
> beschränkte Teilmenge von [mm]\IR[/mm] hat ein Supremum!"
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> Dann taucht ja oft ein Satz auf wie "In [mm]\IQ[/mm] gilt das
> Supremumsaxiom nicht (sonst wäre [mm]\wurzel{2} \in \IQ)."[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> Nimmt man dann die Menge A:={x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| x² < 2} so weiß
> man ja, dass [mm]\wurzel{2}[/mm] hier das Supremum wäre, aber
> [mm]\wurzel{2} \not\in \IQ[/mm] liegt.
>
> Das ist mir auch eigtl. alles klar, aber müsste das
> Supremumsaxiom dann auch nicht in [mm]\IN[/mm] gelten, da [mm]\wurzel{2} \not\in \IN[/mm]
> ist?
Hallo,
Es dürfte schwer sein, eine Teilmenge von [mm] \IN [/mm] zu finden so, daß in jeder Umgebung von [mm] \wurzel{2} [/mm] eine natürliche Zahl liegt.
Gruß v. Angela
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Daher gilt das Supremumsaxiom doch NUR für [mm] \IR, [/mm] oder?
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> Daher gilt das Supremumsaxiom doch NUR für [mm]\IR,[/mm] oder?
Hallo,
nehmen wir doch mal ein bißchen Hausfrauenverstand:
wenn wir eine nach oben beschränkte Teilmenge der natürlich Zahlen haben, dann hat die natürlich ein Maximum. Also ein Supremum.
Gruß v. Angela
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Aber nehmen wir doch die Menge von oben
A:={x [mm] \in \IR [/mm] | x² < 2}
Diese Menge besitzt doch in [mm] \IN [/mm] und [mm] \IQ [/mm] kein Supremum, nur eine obere Schranke... oder?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Aber nehmen wir doch die Menge von oben
> A:={x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| x² < 2}
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> Diese Menge besitzt doch in [mm]\IN[/mm] und [mm]\IQ[/mm] kein Supremum, nur
> eine obere Schranke... oder?
Hallo,
das Supremum dieser Menge ist [mm] \wurzel{2} [/mm] und liegt somit weder in [mm] \IN [/mm] noch in [mm] \IQ.
[/mm]
Meinst Du aber vielleicht was anderes?
Die Menge
[mm] A_{\IN}:={x \in \IN | x² < 2} [/mm] hat sehr woh ein Supremum in [mm] \IN, [/mm] nämlich die 1, welche gleichzeitig das Maximum ist.
Allerdings ist
[mm] A_{\IQ}:={x \in \IQ | x² < 2} [/mm] ganz sicher nach oben beschränkt, jedoch hat die Menge kein Supremum in [mm] \IQ.
[/mm]
Meintest Du das?
Gruß v. Angela
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Ja, ok ich hätte wohl die Menge genauer definieren sollen, sorry :s
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