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| Aufgabe | Ich hab f(x) = x(x-1) und möchte verschiedene Fragen gerne kläre!
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Hallo Leutz,
Ich suche Bereiche der Funktionen für die gilt:
a) injektiv nicht surjektiv
Also mir ist nur surjektiv klar im Moment. Ich wähle hier zu y -> R
Da es dort Punkte gibt, die nicht zu dieser Funktion gehören.
Für Injektiv gilt ja, nehmen wir mal Funktion A -> B
Jedes Element der Zielmenge B darf höchtens einmal von einem Definitionswert der Funktion "getroffen","abgebildet" werden.
Also wäre die Normalparabel als Funktion betrachtet nicht surjektiv und auch nicht Injektiv, weil sie achsensymmetrisch ist [mm] f(x)=x^2
[/mm]
f(1) = f(-1) <-- werden auf den selben Funktionswert abgebildet
deshalb ist die Funktion nicht Injektiv ( es wird ja 2 mal unterschiedlich abgebildet) 1 [mm] \not=-1
[/mm]
Also wäre die Funktion f(x) = x Injektiv immer?
Dann is mir noch eingefallen das jede Funktion mit ungeraden Exponenten surjektiv sein muss. Und jede Funktion mit gerade Exponenten nicht Injektiv sein kann, solange man sich keine bestimmten Bereiche aussucht??
Ich frag mich gerade warum man eigentlich diese Eigenschaften der Funktionen untersucht aber nun gut...
Jetzt hab ich ein Problem, wieso ist der Bereich [20..30] der Funktion injektiv?? wenn ich f(20) = f(30) is doch 20 ungleich 30....(nach der Formel)
aber mir is bewusst dass dadurch natürlich gezeigt ist, dass auf 2 unterschiedliche Funktionswerte gepointet wird...Eigentlich könnte man Injektivheit nur widerlegen am Bsp oder?
Aufjedenfall versteh ich diese Stelle nicht.
Vielen Dank aufjedenfall schon für Antworten, dass interessiert mich gerade irgendwie^^...
Hoffe ich hab nich allzu viel gerade durcheinander geworfen, denn ich bin über diese Begriffe gerade zufällig gestolpert^^
LiebeGrüße Daniel :)
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> Ich hab f(x) = x(x-1) und möchte verschiedene Fragen gerne
> kläre!
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> Hallo Leutz,
>
> Ich suche Bereiche der Funktionen für die gilt:
>
> a) injektiv nicht surjektiv
Hallo,
Um zunächst etwas Konstruktives zur Lösung der Aufgabe beizutragen:
Zeichen Dir doch obige Funktion und schau dann nach, wo sie injektiv ist.
Diese vermutung kannst Du ja anschließend verifizieren.
> Also mir ist nur surjektiv klar im Moment. Ich wähle hier
> zu y -> R
Ich weiß zwar nicht, was Du mit diesen Zeichen meinst, aber wenn man die Funktion f mit obiger Funktionsvorschrift als Funktion von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] betrachtet, ist sie nicht surjektiv, da z.B. auf -5 kein Element des Definitionsbereiches abgebildet wird.
> Da es dort Punkte gibt, die nicht zu dieser Funktion
> gehören.
>
> Für Injektiv gilt ja, nehmen wir mal Funktion A -> B
>
> Jedes Element der Zielmenge B darf höchtens einmal von
> einem Definitionswert der Funktion "getroffen","abgebildet"
> werden.
Auf jedes Element der Zielmenge darf höchstens eines der Definitionsmenge abgebildet werden.
>
> Also wäre die Normalparabel als Funktion
von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm]
> betrachtet nicht
> surjektiv und auch nicht Injektiv, weil sie
> achsensymmetrisch ist [mm]f(x)=x^2[/mm]
Ja.
>
> f(1) = f(-1) <-- werden auf den selben Funktionswert
> abgebildet
> deshalb ist die Funktion nicht Injektiv
Ja.
( es wird ja 2 mal
> unterschiedlich abgebildet) 1 [mm]\not=-1[/mm]
>
> Also wäre die Funktion f(x) = x Injektiv immer?
Ja.
>
> Dann is mir noch eingefallen das jede Funktion mit
> ungeraden Exponenten surjektiv sein muss. Und jede Funktion
> mit gerade Exponenten nicht Injektiv sein kann, solange man
> sich keine bestimmten Bereiche aussucht??
Du redest hier sicher von Polynomen, bei denen das x ausschließlich in gerader bzw. ungerader Potenz vorkommt.
Ja, so ist das.
> Ich frag mich gerade warum man eigentlich diese
> Eigenschaften der Funktionen untersucht aber nun gut...
Injektivität und Surjektivität sind z.B. vom Interesse beim Umkehren von Funktionen, die Surjektivität beim Verketten.
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> Jetzt hab ich ein Problem, wieso ist der Bereich [20..30]
> der Funktion injektiv?? wenn ich f(20) = f(30) is doch 20
> ungleich 30....(nach der Formel)
??? ??? ???
> aber mir is bewusst dass dadurch natürlich gezeigt ist,
> dass auf 2 unterschiedliche Funktionswerte gepointet
> wird...Eigentlich könnte man Injektivheit nur widerlegen am
> Bsp oder?
>
> Aufjedenfall versteh ich diese Stelle nicht.
Ich verstehe nicht, was Du willst.
Vielleicht das: wenn bei Deiner Funktion f(20)=f(30) wäre (!) wüßtest Du, daß sie nicht injektiv auf [mm] \IR [/mm] oder [20,30] ist.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela
dein Post hat mir aufjedenfall gut getan ^^
also ich hab da wohl irgendwas gestern durcheinander geworfen, es
ist ja in einem Bereich "Injektivität" gegeben wenn es gilt:
[mm] f(x_{1}) \not= f(x_{2}) [/mm] wobei [mm] x_{1}\not= x_{2}
[/mm]
und damit wär das ja auch klar.
Bei der gegebenen Parabel wäre zwischen zwei Nullstellen (wie im Beispiel ) der Bereich [0,1] nicht injektiv, da die Funktionswerte gleich zweimal abgebildet werden von unterschiedlichen Definitionswerten.
Wie kann ich denn gleichzeitig eine "Vorschrift machen" bzw "schreiben", der Bereich, welcher nicht injektiv ist aber surjektiv sein soll?
[0,1] mit f(x) > [mm] -\bruch{1}{4} [/mm] ?
Viele Grüße, Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 So 20.01.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo Daniel,
> Wie kann ich denn gleichzeitig eine "Vorschrift machen" bzw
> "schreiben", der Bereich, welcher nicht injektiv ist aber
> surjektiv sein soll?
>
> [0,1] mit f(x) > [mm]-\bruch{1}{4}[/mm] ?
Also wenn ich ehrlich bin verstehe nicht ganz was du willst.
Suchst du nach einem Beispiel für eine surjektive aber nicht injektive Funktion?
Also weil ich heute gut drauf bin, versuche ich mal dir eine extra schöne Antwort zu schreiben:
Zunächst mal die Definition von Injektiv und Surjektiv.
Eine Funktion [mm]f:X \to Y[/mm] heißt injektiv, wenn verschiedene Argumente unter f auch verschiedene Bilder haben, also wenn für alle
a, b [mm] \in [/mm] X gilt: [mm]a \not= b \Rightarrow f(a) \not= f(b)[/mm]
Eine Funktion [mm]f:X \to Y[/mm] heißt surjektiv, wenn jedes y [mm] \in [/mm] Y ein Bild unter f ist, also: für alle y [mm] \in [/mm] Y gibt es ein x [mm] \in [/mm] X so das f(x)=y ist.
Wie du an den beiden Definitionen sehen kannst kann man aus jeder
Funktion eine injektive Funktion und eine surjektive Funktion machen.
Das heißt die Eigenschaften injektiv und surjektiv hängen von den Mengen X und Y ab.
Dazu als Beispiel folgende Funktion: [mm] f: \IR \to \IR[/mm] ; [mm] f(x)=x^2+2[/mm]
Diese Funktion ist weder injektiv noch surjektiv.
Denn -1 [mm] \not= [/mm] 1 aber f(-1)= f(1)
Und 1 [mm] \in [/mm] Y aber es gibt kein x , so das f(x)=1
So um jetzt eine Parabel injektiv zu machen brauchen wir den Scheitelpunkt. Denn wenn wir nun die Menge X so einschränken,
dass sie nur rechts oder links des Scheitelpunktes liegt bekommen wir eine injektive Funktion:
Also konkret: [mm] f: [0;\infty[ \to \IR [/mm] ; [mm] f(x)=x^2+2[/mm] ist injektiv.
Um jetzt diese Parabel surjektiv zu machen, müssen wir Y einschränken,
dass Y nur oberhalb des Scheitelpunktes liegt, denn dann finden wir für jedes y [mm] \in [/mm] Y auch ein entsprechendes x.
Also konkret: [mm] f: \IR \to [2; \infty[ [/mm] ; [mm]f(x)=x^2+2[/mm] ist surjektiv.
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Super Dank an dich für die bemerkenswerte Erklärung :D
Hoffentlich hast du öfter solche Tage, die Leute würden sich freuen ;)
Ok, ich muss ehrlich sagen, ich hab mich mit dem Stoff in keinem Script oder so auseinander gesetzt habe sondern bin nur zufällig von einem Studentenpost darauf gestoßen ;)
Aber ich denke, ich hab das wesentlich jetzt verstanden....
Wenn mich jetzt nich alle guten Geistern verlassen haben, wäre das doch jetzt bijektiv
$ f: [mm] [0;\infty[ \to [/mm] [2; [mm] \infty[ [/mm] $ ; $ [mm] f(x)=x^2+2 [/mm] $
Lernt man sowas in ersten Semester? Ich hab nämlich auch mitbekommen, dass die Profs das als bekannt vorraussetzen quasi...
Naja aber im Unterricht haben wir sowas noch nie durchgenommen, irgendwie komisch^^
Grüße Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 So 20.01.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo Daniel,
> Wenn mich jetzt nich alle guten Geistern verlassen haben,
> wäre das doch jetzt bijektiv
>
> [mm]f: [0;\infty[ \to [2; \infty[[/mm] ; [mm]f(x)=x^2+2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Lernt man sowas in ersten Semester? Ich hab nämlich auch
> mitbekommen, dass die Profs das als bekannt vorraussetzen
> quasi...
Ja bei mir wurde das im ersten Semester in Analysis definiert.
Ich hab aber auch schon Schulbücher gesehen, welche das definiert haben.
Falls du an Uni-Mathematik interessiert bist kann ich dir nur das Analysis Buch von Berehnds empfehlen.
Grüße,
Andi
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