Surjektive Funktion, Stetig? < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Kroni |
| Aufgabe | Sei f eine surjektive Funktion [mm] \IR\mapsto\IR\backslash\{2\} [/mm] .
Kann diese Funktion stetig sein? |
Hi,
surjektivität bedeutet ja, dass es zu jedem y aus der Menge, in die abgebildet wird, also in diesem Fall [mm] \IR\backslash\{2\} [/mm] genau ein x aus in diesem Falle [mm] \IR [/mm] gibt, so dass f(x)=y.
Nun, ich kann mir sehrwohl eine Funktion vorstellen, die stetig ist, wenn die 2 mit in die Menge, in die Abgebildet wird, dazugehört. Jetzt soll die 2 aber nicht dazugehören, d.h. bei der 2 gibt es eine winzige kleine Stelle, die vom Graphen nicht "befleckt" wird. Diese Stelle ist so winzig klein, da [mm] \IR [/mm] vollständig ist.
Das [mm] \epsilon \delta [/mm] Kriterium für Stetigkeit lautet ja, dass es für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] ein [mm] \delta>0 [/mm] gibt, so dass für alle x mit [mm] |x-x_0|<\delta |f(x_0)-f(x)|<\epsilon [/mm] gilt.
Nun, das heißt ja nichts anderes, als dass die Funktionswerte für sehr nahe aneinander liegende x-Werte auch sehr nahe aneinander liegen müssen.
Wenn ich nun fordere, dass [mm] x_0 [/mm] und [mm] x_1 [/mm] sehr nahe aneinande rliegen, also [mm] |x_0-x_1|<\delta [/mm] und dass für die beiden Funktionswerte der Stellen gilt:
[mm] |f(x_0)-2|<\epsilon/2 [/mm] und [mm] |f(x_1)-2|<\epsilon/2 [/mm] für jedes [mm] \epsilon>0, [/mm] wobei [mm] f(x_0)<2 [/mm] und [mm] f(x_1)>2, [/mm] und [mm] x_0
Ich weiß nur nicht, wie ich das ganze dann mathematisch mit Hilfe der epsilon-delta Definition darstellen kann.
Soweit ich mir das nun vorstelle, ist die Funktion stetig, oder stimmt schon diese Vorstellung nicht, und meine Argumentation oben?
Wäre für etwas Hilfe dankbar.
LG
Kroni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Mi 02.01.2008 | | Autor: | SEcki |
> [mm]|f(x_0)-2|<\epsilon/2[/mm] und [mm]|f(x_1)-2|<\epsilon/2[/mm] für jedes
> [mm]\epsilon>0,[/mm] wobei [mm]f(x_0)<2[/mm] und [mm]f(x_1)>2,[/mm] und [mm]x_0
> ist meine Funktion da an der Stelle schonmal steigend),
Also wenn dein [m]\varepsilon[/m] beliebig ist, würde das [m]f(x_0)=f/x_1)=2[/m] implizieren. Aber da sgeht ja nicht.
> dann kann ich doch auch behaupten, dass meine Funktion dann
> stetig ist, weil ich beliebig nahe an die 2 herankomme, und
> somit eine surjektive Funktion habe, die stetig ist.
Diese Funktion zerreisst es aber irgendwo.
> Ich weiß nur nicht, wie ich das ganze dann mathematisch mit
> Hilfe der epsilon-delta Definition darstellen kann.
Da es eine solche nicht geben kann, hoffe ich mal, dass dies nicht klappt.
Prober mal was mit der Inklusion wieder nach [m]\IR[/m] und dem ZWS etwas zu machen.
Hatte ihr schond en Begriff Zusammenhang? Damit wird die Aufgabe recht schnell sehr klar.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:59 Do 03.01.2008 | | Autor: | Kroni |
> > [mm]|f(x_0)-2|<\epsilon/2[/mm] und [mm]|f(x_1)-2|<\epsilon/2[/mm] für jedes
> > [mm]\epsilon>0,[/mm] wobei [mm]f(x_0)<2[/mm] und [mm]f(x_1)>2,[/mm] und [mm]x_0
> > ist meine Funktion da an der Stelle schonmal steigend),
>
> Also wenn dein [m]\varepsilon[/m] beliebig ist, würde das
> [m]f(x_0)=f/x_1)=2[/m] implizieren. Aber da sgeht ja nicht.
>
> > dann kann ich doch auch behaupten, dass meine Funktion dann
> > stetig ist, weil ich beliebig nahe an die 2 herankomme, und
> > somit eine surjektive Funktion habe, die stetig ist.
>
> Diese Funktion zerreisst es aber irgendwo.
Hi,
ja, da ich bei der 2 irgendwo eine kleine winzige Lücke habe. Die Def für Stetigkeit aber sagt, dass man für jedes [mm] \epsilon>0 [/mm] ein [mm] \delta>0 [/mm] existiert, so dass dann für jedes x mit [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] gilt [mm] |f(x_0)-f(x)|<\epsilon.
[/mm]
Da ich meine x-Werte ja besonders dicht beinander liegen kann, und meinetwegen der eine Funktionswert von [mm] x_1 [/mm] gleich [mm] 3,\overline{9} [/mm] und der andere dann 4,0000000.....0001 , dann sind ja die Funktionswerte auch beliebig dicht beieinander. Daher könnte es ja sein, dass die Funktion dann trotzdem stetig ist.
>
> > Ich weiß nur nicht, wie ich das ganze dann mathematisch mit
> > Hilfe der epsilon-delta Definition darstellen kann.
>
> Da es eine solche nicht geben kann, hoffe ich mal, dass
> dies nicht klappt.
>
> Prober mal was mit der Inklusion wieder nach [m]\IR[/m] und dem
> ZWS etwas zu machen.
>
> Hatte ihr schond en Begriff Zusammenhang? Damit wird die
> Aufgabe recht schnell sehr klar.
Nein, den Begriff hatten wir noch nicht.
Danke schonmal für deine Antwort,
LG
Kroni
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> SEcki
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> ja, da ich bei der 2 irgendwo eine kleine winzige Lücke
> habe. Die Def für Stetigkeit aber sagt, dass man für jedes
> [mm]\epsilon>0[/mm] ein [mm]\delta>0[/mm] existiert, so dass dann für jedes x
> mit [mm]|x-x_0|<\delta[/mm] gilt [mm]|f(x_0)-f(x)|<\epsilon.[/mm]
>
> Da ich meine x-Werte ja besonders dicht beinander liegen
> kann, und meinetwegen der eine Funktionswert von [mm]x_1[/mm] gleich
> [mm]3,\overline{9}[/mm]
Hallo,
=4
> und der andere dann 4,0000000.....0001 ,
> dann sind ja die Funktionswerte auch beliebig dicht
> beieinander. Daher könnte es ja sein, dass die Funktion
> dann trotzdem stetig ist.
Deine Funktionswerte rücken also v, rechts und v. links beliebig dicht an die 2 heran, habe ich das richtig verstanden?
Nun ist der Definitionsbereich aber ganz [mm] \IR [/mm] ohne Wenn und Aber. Wie ist denn der Funktionswert an der Stelle [mm] x_0, [/mm] an welcher die Funktionswerte beliebig dicht an die 2 heranrücken?
Nun bekommst Du ein Problem: [mm] f(x_0)=y_0\not=2, [/mm] und damit ist der Traum v. der Stetigkeit ausgeträumt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:15 Do 03.01.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
danke für die Antworten. Das bedeutet also, dass ich zwar beliebig an die 2 herankomme, aber sie nie erreiche, weil sie ja nicht in der Abbdilungsmenge liegt. D.h. ich kann die 2 nie erreichen, damit ist die Funktion unstetig.
Okay =)
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kroni,
nimm' mal an, es gäbe eine stetige, surjektive Funktion $f: [mm] \IR \to \IR \backslash \{2\}$. [/mm] Dann gibt es $r,s [mm] \in \IR$ [/mm] mit $f(r)=1$ und $f(s)=3$ (Warum?).
Im Falle $r < s$ wende den Zwischenwertsatz auf die stetige (aber nicht notwendig surjektive) Funktion
$g: [r,s] [mm] \to \IR \backslash \{2\}$ [/mm] mit $g(x):=f(x)$ für alle $x [mm] \in [/mm] [r,s]$
an (d.h. $g$ ist die Funktion "$f$ eingeschränkt auf $[r,s]$") und folgere, dass es dann ein [mm] $\xi \in [/mm] [r,s]$ geben muss mit [mm] $g(\xi)=2$. [/mm] Was heißt das für [mm] $f(\xi)$?
[/mm]
Im Falle $r > s$ betrachte halt "$f$ eingeschränkt auf $[s,r]$"...
Der Fall $r=s$ kann nicht eintreten (Warum?).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:06 Do 03.01.2008 | | Autor: | Kroni |
> Hallo Kroni,
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> nimm' mal an, es gäbe eine stetige, surjektive Funktion [mm]f: \IR \to \IR \backslash \{2\}[/mm].
> Dann gibt es [mm]r,s \in \IR[/mm] mit [mm]f(r)=1[/mm] und [mm]f(s)=3[/mm] (Warum?).
Nun, weil die Funktion surjektiv ist, muss es zu jedem y aus [mm] \IR\backslash{2} [/mm] ein x aus [mm] \IR [/mm] geben, so dass f(x)=y gilt. Da 1 und 3 in [mm] \IR\backslash{2} [/mm] und f surjektiv, muss es ein r und s aus [mm] \IR [/mm] geben.
> Im Falle [mm]r < s[/mm] wende den Zwischenwertsatz auf die stetige
> (aber nicht notwendig surjektive) Funktion
> [mm]g: [r,s] \to \IR \backslash \{2\}[/mm] mit [mm]g(x):=f(x)[/mm] für alle
> [mm]x \in [r,s][/mm]
> an (d.h. [mm]g[/mm] ist die Funktion "[mm]f[/mm] eingeschränkt
> auf [mm][r,s][/mm]") und folgere, dass es dann ein [mm]\xi \in [r,s][/mm]
> geben muss mit [mm]g(\xi)=2[/mm].
Nun, der Zwischenwertsatz sagt mir dann ja aus, dass jede reelle Zahl zwischen 1 und 3 als Funktionswert angenkommen wird. Aber ist das auch so, wenn ich die 2 explizit rausnehme aus der Abbildungsmenge?!
EDIT: Ahh, moment: Wenn ich annehme, dass f stetig sei, dann muss ich auch die 2 als Bild finden. Da die 2 aber gar nicht in der Bildmenge ist, habe ich einen Widerspruch zur Annahme! Ist das so richtig?
>Was heißt das für [mm]f(\xi)[/mm]?
Wenn f und g in dem Intervall übereinstimmen, muss das auch für f gelten, dass es ein [mm] \xi [/mm] gibt mit [mm] f(\xi)=2....Das [/mm] ist aber ein Widerspruch zur Annahme => Es gibt keine stetige, surjektive Funktion von [mm] \IR->\IR\backslash{2}
[/mm]
>
> Im Falle [mm]r > s[/mm] betrachte halt "[mm]f[/mm] eingeschränkt auf
> [mm][s,r][/mm]"...
Ja, das wäre dann ja analog wie oben.
> Der Fall [mm]r=s[/mm] kann nicht eintreten (Warum?).
Dann müsste ja ein Element der Ursprungsmenge auf zwie Elemente abgebildet werden, das widerspricht der Def. von einer Abbildung/Funktion.
Liebe Grüße,
Kroni
>
> Gruß,
> Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Do 03.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Kroni,
> > nimm' mal an, es gäbe eine stetige, surjektive Funktion [mm]f: \IR \to \IR \backslash \{2\}[/mm].
> > Dann gibt es [mm]r,s \in \IR[/mm] mit [mm]f(r)=1[/mm] und [mm]f(s)=3[/mm] (Warum?).
>
> Nun, weil die Funktion surjektiv ist, muss es zu jedem y
> aus [mm]\IR\backslash{2}[/mm] ein x aus [mm]\IR[/mm] geben, so dass f(x)=y
> gilt. Da 1 und 3 in [mm]\IR\backslash{2}[/mm] und f surjektiv, muss
> es ein r und s aus [mm]\IR[/mm] geben.
ja.
> > Im Falle [mm]r < s[/mm] wende den Zwischenwertsatz auf die stetige
> > (aber nicht notwendig surjektive) Funktion
> > [mm]g: [r,s] \to \IR \backslash \{2\}[/mm] mit [mm]g(x):=f(x)[/mm] für
> alle
> > [mm]x \in [r,s][/mm]
> > an (d.h. [mm]g[/mm] ist die Funktion "[mm]f[/mm]
> eingeschränkt
> > auf [mm][r,s][/mm]") und folgere, dass es dann ein [mm]\xi \in [r,s][/mm]
> > geben muss mit [mm]g(\xi)=2[/mm].
>
> Nun, der Zwischenwertsatz sagt mir dann ja aus, dass jede
> reelle Zahl zwischen 1 und 3 als Funktionswert angenkommen
> wird. Aber ist das auch so, wenn ich die 2 explizit
> rausnehme aus der Abbildungsmenge?!
>
> EDIT: Ahh, moment: Wenn ich annehme, dass f stetig sei,
> dann muss ich auch die 2 als Bild finden. Da die 2 aber gar
> nicht in der Bildmenge ist, habe ich einen Widerspruch zur
> Annahme! Ist das so richtig?
genau.
> >Was heißt das für [mm]f(\xi)[/mm]?
>
> Wenn f und g in dem Intervall übereinstimmen, muss das auch
> für f gelten, dass es ein [mm]\xi[/mm] gibt mit [mm]f(\xi)=2....Das[/mm] ist
> aber ein Widerspruch zur Annahme => Es gibt keine stetige,
> surjektive Funktion von [mm]\IR->\IR\backslash{2}[/mm]
die Konstruktion mit g ist zwar ok, erscheint aber etwas umständlich.
Man könnte auch direkt mit f argumentieren...
> > Im Falle [mm]r > s[/mm] betrachte halt "[mm]f[/mm] eingeschränkt auf
> > [mm][s,r][/mm]"...
>
> Ja, das wäre dann ja analog wie oben.
>
> > Der Fall [mm]r=s[/mm] kann nicht eintreten (Warum?).
>
> Dann müsste ja ein Element der Ursprungsmenge auf zwie
> Elemente abgebildet werden, das widerspricht der Def. von
> einer Abbildung/Funktion.
das hast du gut verstanden!
LG
Will
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> Sei f eine surjektive Funktion [mm]\IR\mapsto\IR\backslash\{2\}[/mm]
> .
> Kann diese Funktion stetig sein?
> Hi,
>
> surjektivität bedeutet ja, dass es zu jedem y aus der
> Menge, in die abgebildet wird, also in diesem Fall
> [mm]\IR\backslash\{2\}[/mm] genau ein x aus in diesem Falle [mm]\IR[/mm]
> gibt, so dass f(x)=y.
Hi,
das stimmt so auch nicht. "Genau" eines wäre im Falle der Bijektivität gegeben. Surjektivität bedeutet hier, dass es zu jedem $y [mm] \in \IR \backslash \{2\}$ [/mm] mindestens ein $x [mm] \in \IR$ [/mm] gibt mit $f(x)=y$.
Ein Beispiel für eine surjektive, nicht aber injektive Funktion wäre
$f: [mm] \IR \to \IR_{\ge 0}$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x^2$.
[/mm]
Ein Beispiel für eine injektive, nicht aber surjektive Funktion:
$f: [mm] \IN \to \IZ$ [/mm] mit $f(n)=n$.
Ein Beispiel für eine bijektive Funktion:
$f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit $f(x)=x$.
Wenn Dir die Begriffe Injektivität, Surjektivität und Bijektivität klar sind, solltest Du auch meine Behauptungen für die letzten drei genannten Funktionen beweisen können. Und dann mache Dir klar:
Injektivität: Jedes Element aus dem Zielbereich hat HÖCHSTENS ein Urbild.
Surjektivität: Jedes Element aus dem Zielbereich hat MINDESTENS ein Urbild.
Bijektivität: Jedes Element aus dem Zielbereich hat GENAU EIN Urbild.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:54 Do 03.01.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, das genau ein war von mir zu übermotiviert. Es sollte heißen, dann gibt es ein x aus A, so dass f(x)=y gilt. Das war mir soweit auch schon klar, aber danke für deine Antwort=)
LG
Kroni
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