Surjektivität zeigen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Di 16.11.2010 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Gegen sei die Funktion $f : [mm] \IR \rightarrow \IR^{2},\\ [/mm] t [mm] \rightarrow ((t+1)^{2},t^{2})$
[/mm]
Zeigen sie, das f surjektiv ist. |
Ist meine Lösung richtig?
Sei $t [mm] \in \IZ$ [/mm] fest so gilt:
[mm] $y=(t+1)^{2}=t^{2}+2t+1$
[/mm]
Es ergibt sich:
$t=-1 [mm] \pm \wurzel [/mm] {y}$
Weiterhin gilt:
[mm] $y=t^{2}$
[/mm]
Es ergibt sich
[mm] $t=\pm \wurzel [/mm] {y}$
Da $t$ beliebig gewählt war, ist die Funktion $f$ surjektiv.
Stimmt das denn so?
Vielen dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 Di 16.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gegen sei die Funktion [mm]f : \IR \rightarrow \IR^{2},\\ t \rightarrow ((t+1)^{2},t^{2})[/mm]
>
> Zeigen sie, das f surjektiv ist.
Diese Funktion ist nicht surjektiv !!
Ist z.B. (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] mit x<0 oder y<0, so gibt es kein t [mm] \in \IR [/mm] mit:
f(t)=(x,y)
Also, wie lautet die Aufgabe wirklich ?
FRED
> Ist meine Lösung richtig?
>
> Sei [mm]t \in \IZ[/mm] fest so gilt:
>
> [mm]y=(t+1)^{2}=t^{2}+2t+1[/mm]
> Es ergibt sich:
> [mm]t=-1 \pm \wurzel {y}[/mm]
>
> Weiterhin gilt:
> [mm]y=t^{2}[/mm]
> Es ergibt sich
> [mm]t=\pm \wurzel {y}[/mm]
>
> Da [mm]t[/mm] beliebig gewählt war, ist die Funktion [mm]f[/mm] surjektiv.
>
> Stimmt das denn so?
>
> Vielen dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Di 16.11.2010 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] $f:\IR \rightarrow \IR^{2}, [/mm] t [mm] \rightarrow ((t+1)^{2}),t^{2}).
[/mm]
(a) Zeigen sie, dass f injektiv ist.
(b) Begründen sie,warum eine Funktion [mm] $g:\IR^{2}$ [/mm] existiert mit [mm] $gof=id_\IR$
[/mm]
(c) Zeigen sie, dass eine solche Funktion surjektiv sein muss
(d) Finden sie ein solches g |
Also ich dachte jetzt eben, wenn die Aufgabe fordert zu zeigen, dass [mm] $g:\IR^{2} \rightarrow \IR [/mm] $ surjektiv ist, dann muss auch f surjektiv sein.
Aber ich merke gerade, dass ich dabei angenommen habe, dass g eine Umkehrfunktion auf f darstellt.
War wohl etwas zu wenig nachgedacht.
Denn es müsste ja gelten [mm] $fog=id_\IR_^{2}$ [/mm] oder?
Das dem nicht so ist, hast du ja glaube ich eben gezeigt.
Aber wie kann ich denn jetzt zeigen das g surjektiv ist, ohne g zu kennen? Dachte eben der einfachste Weg wäre zu argumentieren, dass f surjektiv ist. Deshalb auch meine "falsche" Aufgabe..Sorry!
lg
nhard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:50 Mi 17.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Aus $ [mm] gof=id_\IR [/mm] $ folgt:
[mm] $\IR= id_{\IR}(\IR)= [/mm] (g [mm] \circ f)(\IR)= g(f(\IR)) \subseteq g(\IR^2) \subseteq \IR$
[/mm]
FRED
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