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| Aufgabe | | Gebt ein Beispiel einer Gruppe von Ordnung [mm] 918=2*3^3*17 [/mm] mit [mm] m_2(G)=17 [/mm] |
Hallo alle
Ich hab ein Bisschen Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe. Ich hab schon rausgefunden, dass die Gruppe [mm] D_{17}\times C_{27} [/mm] die Ordnung 34*27=918 hat, aber wenn's dazu kommt, zu zeigen, dass die Anzahl von Syl-2-Untergr. 17 ist, gehts nicht ...
Also ich würde meinen, die Methode wär zu zeigen, dass die Anzahl von Elementen von Ordnung 2 in [mm] D_{17}\times C_{27} [/mm] eben 17 ist (richtig?).
Nun: Es gibt eben 17 Elemente von Ordnung 2 in [mm] D_{17}; [/mm] die 17 Spiegelungen. Und es gibt keine Elemente von Ordnung 2 in [mm] C_{27}. [/mm] Dann hat ein Element von Ordnung 2 in der Produktgruppe die Form (d,e), wo d von Ordnung 2 ist in [mm] D_{17} [/mm] und e das neutrale Element in [mm] C_{27}.
[/mm]
Und von denen gibt es eben 17 oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Di 03.03.2009 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
was sind denn [mm] C_n [/mm] und [mm] D_n [/mm] bei dir?
[mm] m_2(G) [/mm] ist anscheinend die Anzahl der 2-Sylow-Untergruppen...
LG djmatey
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:32 Mi 04.03.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> Gebt ein Beispiel einer Gruppe von Ordnung [mm]918=2*3^3*17[/mm] mit
> [mm]m_2(G)=17[/mm]
> Hallo alle
>
> Ich hab ein Bisschen Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe.
> Ich hab schon rausgefunden, dass die Gruppe [mm]D_{17}\times C_{27}[/mm]
> die Ordnung 34*27=918 hat, aber wenn's dazu kommt, zu
> zeigen, dass die Anzahl von Syl-2-Untergr. 17 ist, gehts
> nicht ...
Wieso? Du hast es doch gezeigt:
> Also ich würde meinen, die Methode wär zu zeigen, dass die
> Anzahl von Elementen von Ordnung 2 in [mm]D_{17}\times C_{27}[/mm]
> eben 17 ist (richtig?).
Genau. Jede 2-Sylow-Untergruppe von deiner Gruppe $G$ hat Ordnung 2 und besteht somit aus dem Neutralelement und genau einem Element der Ordnung 2.
> Nun: Es gibt eben 17 Elemente von Ordnung 2 in [mm]D_{17};[/mm] die
> 17 Spiegelungen. Und es gibt keine Elemente von Ordnung 2
> in [mm]C_{27}.[/mm]
Die Gruppe [mm] $C_{27}$ [/mm] hat vermutlich 27 Elemente? (Ich vermute mal das soll eine zyklische Gruppe der Ordnung 27 darstellen, aber im Endeffekt ist es voellig egal, hauptsache die Gruppenordnung ist nicht durch 2 teilbar.)
> Dann hat ein Element von Ordnung 2 in der
> Produktgruppe die Form (d,e), wo d von Ordnung 2 ist in
> [mm]D_{17}[/mm] und e das neutrale Element in [mm]C_{27}.[/mm]
Genau.
> Und von denen gibt es eben 17 oder?
Ja.
LG Felix
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