Sylow von S4 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:24 Mo 07.03.2005 | | Autor: | Lemma |
Möchte nur kurz fragen ob folgendes korrekt ist:
( die vielen Fragen, da wir keine Lösungen zu unseren Übungen erhalten haben :( )
Sylowgruppen von S4
3 s2 Sylowgruppen und 4 s3 Sylowgruppen wobei mind. eine Ordnung 3 hat? (da [mm] 2^{3} [/mm] bei s2)
weiter soll ich denn durchschnitt von 2 Sylowgruppen angeben.
Das ist in meinem Fall einfach 1 oder.. ist zwar ein wenig zu banal... ?
Vielen dank für eure Antwort.
Habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Di 08.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Das stimmt alles:
Wir haben drei $2$-Sylowgruppen der Ordnung $8$, nämlich:
[mm] $\{(1),(12)(34),(13)(23),(14)(23),(34),(12),(1324),(1423)\}$,
[/mm]
[mm] $\{(1),(12)(34),(13)(23),(14)(23),(24),(13),(1234),(1423)\}$,
[/mm]
[mm] $\{(1),(12)(34),(13)(23),(14)(23),(23),(14),(1243),(1342)\}$.
[/mm]
Weiterhin haben vier $3$-Sylowgruppen der Ordnung $3$, nämlich:
[mm] $\{(1),(234),(243)\}$,
[/mm]
[mm] $\{(1),(123),(132)\}$,
[/mm]
[mm] $\{(1),(124),(142)\}$,
[/mm]
[mm] $\{(1),(134),(143)\}$.
[/mm]
Die Durchschnitte sind alle trivial, ja, das stimmt.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:30 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Lemma |
Hallo Julius,
vielen Dank für die Antwort.
Leider blick ich noch nicht ganz durch wie ich die einzelnen Sylowgruppen ausschreiben kann. Ich kann zwar berechnen wieviele Sylowgruppen S4 hat, aber ich weiss nicht wie die konkret aussehen?
Kannst du mir das mal etwas genauer erklären?
Und noch was, was zur Zeit grad ziemlich Verwirrung stiftet. Angenommen ich müsste alle Gruppen der Ordnung 8 bestimmen. .. Also, jetzt macht man das doch über Sylow, bestimmt die einzelnen Gruppen (.. was ich wie gesagt, nicht kann). Ist es korrekt das dann die Sylowgruppen der Gruppen mit Ordnung 8 die Diedergruppe 4, die Quaterninonengruppe, [mm] \IZ_{8} [/mm] , [mm] \IZ_{4} \times \IZ_{2} [/mm] und [mm] \IZ_{2} \times \IZ_{2} \times \IZ_{2} [/mm] sind. .. also diese Gruppen sind sozusagen das Ergebnis?
Weiter wäre die Frage dann auch gleichbedeutend mit "Geben sie alle Sylowgruppen von der Diedergruppe 4 an"?
Oder ist es ein Unterschied die Sylowgruppen von einer Gruppe zu berechnen oder alle mit einer bestimmten Ordnung. Hmm... ja, wahrscheinlich schon, aber ich sehs nicht.
Der heutige Tag hat bei mir ziemlich Verwirrung gestiftet. Sorry für die vielen Fragen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Do 10.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also:
Die $2$-Sylowgruppen der [mm] $S_4$ [/mm] sind alle Untergruppen der [mm] $S_4$ [/mm] mit Ordnung $8$. Davon gibt es die drei genannten. Alle drei sind isomorph zur Diedergruppe [mm] $D_4$. [/mm] Es müssen natürlich Untergruppen der [mm] $S_4$ [/mm] sein (oder wie war deine Frage zu verstehen?)!
Die $3$-Sylowgruppen der [mm] $S_4$ [/mm] sind alle Untergruppen der [mm] $S_4$ [/mm] der Ordnung $3$. Davon gibt es die vier genannten. Alle vier sind isomorph zu [mm] $\IZ/3\IZ$.
[/mm]
Wie man die Gruppen genau bestimmt, weiß ich nicht. Ich habe sie durch Ausprobieren bestimmt (ich wusste ja, wie viele es geben muss  ).
Vielleicht weiß ja ein Algebraiker hier Rat, wie man das systematisch macht. Daher lasse ich die Frage mal bis zur Fälligkeit auf "halbbeantwortet" stehen.
Liebe Grüße
Julius
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