Sylowgruppe / Normalteiler < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | G eine endliche Gruppe, N Normalteiler von G, S eine Sylowgruppe von N, S Normalteir von N. Dann folgt: S ist Normalteiler von G.
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Hallo Leute!
Kann mir jemand helfen, fogende Aussage zu beweisen?!
"G eine endliche Gruppe, N Normalteiler von G, S eine Sylowgruppe von N, S Normalteir von N. Dann folgt: S ist Normalteiler von G."
LG m-student
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Wie sieht es mit eigenen Ansätzen aus?
Was ist zu beweisen? Dass $S$ ein Normalteiler in $G$ ist. Für ein beliebiges [mm] $g\in [/mm] G$ soll also [mm] $gSg^{-1}=S$ [/mm] gelten. Was wissen wir? Wir wissen, dass $N$ ein Normalteiler ist; als solcher gilt für ihn [mm] $gNg^{-1}=N$, [/mm] und da [mm] $S\subseteq [/mm] N$, also auch [mm] $gSg^{-1}\subset [/mm] N$. Welche Ordnung hat [mm] $gSg^{-1}$? [/mm] Welche Eigenschaften haben Sylow-Gruppen, die zugleich Normalteiler sind? Was folgt daraus?
Los, jetzt bist du dran; die Aufgabe ist nicht schwierig, du musst nur genau das Anwenden, was vorausgesetzt ist; Schritt für Schritt.
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Hanno!
Also eine Sylowgruppe, die zugleich Normalteiler ist, ist dann die einzige Sylowgruppe von G.
Die Ordnung von [mm] gSg^{-1} [/mm] ist |S|.
Aber ich versteh den Zusammenhang nicht.......Was hat die Ordnung von [mm] gSg^{-1} [/mm] damit zu tun...??
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Hallo Hanno!
Also darus kann ich dann sofort folgen, dass S Normalteiler von G ist!
Stimmt´s?
LG
m-student
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:22 So 22.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
> Also darus kann ich dann sofort folgen, dass S Normalteiler von G ist!
Wie folgerst du? Wir wissen bereits, dass [mm] $gSg^{-1}$ [/mm] Sylow-Gruppe in $N$ ist, dass aber gleichzeitig $S$ Normalteiler in $H$, sprich die einzige Sylow-Gruppe (bzgl. der entsprechenden Primzahl) ist. Also muss was gelten? Los, ich möchte, dass du das selbst siehst :)
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo, Hanno!
Ok, ich versuchs noch mal:
Da S Normalteiler in N ist, muss dann folgen, dass S die einzige Sylowgruppe in N ist. Dann muss die Ordnung von S = Ordnung von N sein, also. Nach Voraussetzung ist N Normalteier von G ist, dann muss auch S Normalteiler von G sein, weil |N| = |S|. q.e.d.
Stimmt es jetzt?
LG
m-student
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 So 22.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
> Da S Normalteiler in N ist, muss dann folgen, dass S die einzige Sylowgruppe in N ist.
Das ist richtig.
> Dann muss die Ordnung von S = Ordnung von N sein, also.
Das ist falsch ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") . Nur weil $S$ Sylow-Gruppe von $N$ ist, muss nicht $|S|=|N|$ gelten.
Wir waren bereits so weit:
Zu zeigen ist [mm] $gSg^{-1}=S$. [/mm] Wir wissen bereits folgendes über [mm] $gSg^{-1}$:
[/mm]
- Da $N$ Normalteiler in $G$ ist, ist [mm] $gNg^{-1}=N$, [/mm] d.h. [mm] $gSg^{-1}\subseteq [/mm] N$, da [mm] $S\subseteq [/mm] N$.
- Es ist [mm] $|gSg^{-1}|=|S|$ [/mm] und [mm] $gSg^{-1}$ [/mm] somit Sylow-Gruppe in $N$
- $S$ ist Normalteiler in $N$, d.h. es gibt nur eine einzige Sylow-Gruppe in $N$, und zwar $S$.
Was folgt also?
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Hanno!
hmm............. ich glaub ich steh gerad auf dem Schlauch......:-(
> Das ist falsch . Nur weil $ S $ Sylow-Gruppe von $ N $ ist, muss nicht $ |S|=|N| $ gelten.
Warum gilt es nicht? S ist doch die einzige Sylow-Gruppe von N!
sorry, ich kopiers leider nicht.........
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 So 22.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Um die Sache klarer zu machen, konkretisieren wir und sagen genauer: $S$ ist $p$-Sylow-Gruppe von $N$ für eine Primzahl $p$.
Ist $|N|$ eine $p$-Potenz, so folgt daraus $S=N$. Existiert jedoch neben $p$ ein weiterer Primteiler von $N$, so ist [mm] $S\subsetneqq [/mm] N$. Wir wissen nichts über $N$, insbesondere also nicht, ob $N$ eine $p$-Gruppe und somit $S=N$ gilt.
Lies dir nochmal durch, was ich schrieb. Inzwischen ist es nur noch ein logischer Schluss des Bekannten, im Grunde genommen steht die Lösung auch schon da, aber es muss selbst bei dir "Klick" machen. Wir wollen [mm] $gSg^{-1}=S$ [/mm] zeigen. Wir wissen: [mm] $gSg^{-1}$ [/mm] ist $p$-Sylow-Gruppe von $N$, es gibt nur eine einzige $p$-Sylow-Gruppe von $N$ und wir wissen bereits, dass $S$ eine solche ist. Also?
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Hanno.
ja darus folgt dann dass S die einzige Sylow-Gruppe in G ist, und somit ist S Normalteiler von G. Oder?
LG
m-student
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 So 22.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
> ja darus folgt dann dass S die einzige Sylow-Gruppe in G ist, und somit ist S Normalteiler von G. Oder?
Nein.
Ich löse es mal auf. Das einzige, was ich noch hören wollte, war folgendes:
Wenn [mm] $gSg^{-1}$ [/mm] p-Sylow-Gruppe in $N$, jedoch $S$ nach Voraussetzung Normalteiler, d.h. die einzige solche in $N$ ist, dann folgt [mm] $gSg^{-1}=S$. [/mm]
Mehr war nicht zu zeigen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:11 So 22.01.2006 | | Autor: | m-student |
hallo Hanno!
Vielen Dank für deine Hilfe! Ich glaub ich hab die Aufgabe jetzt endlich mal richtig verstanden!
LG
m-student
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
