Sylowuntergruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Mi 31.10.2012 | | Autor: | unibasel |
| Aufgabe | Man beschreibe die 2-Sylowuntergruppen der folgenden Gruppen:
1) [mm] D_{10}
[/mm]
b) T (Tetraedergruppe)
c) W (Würfelgruppe)
d) Q (Quaternionengruppe) |
Also fangen wir doch mal an:
ad a)
[mm] |D_{10}|=20=2^{2}*5
[/mm]
dabei ist [mm] 2^{2} [/mm] = [mm] p^{e} [/mm] und m = 5 mit p prim, p teilt m nicht.
Es gibt also mindestens eine 2-Sylow- und eine 5-Sylowuntergruppe (Nach Satz 1 von Sylow)
Es gilt nach dem 3. Satz von Sylow:
[mm] |G|=p^{e}*m \Rightarrow n_{2}:= [/mm] Anzahl 2-Sylowuntergruppen
Jetzt [mm] n_{2}|5 (n_{2} [/mm] teilt 5) und [mm] n_{2}\equiv [/mm] 1 mod 2 [mm] \Rightarrow n_{2}=1,2,3,5 [/mm] ??? oder welche?
(Was genau bekomme ich jetzt für [mm] n_{2}?)
[/mm]
Und wie sieht es mit den anderen aus?
ad b)
[mm] |T|=12=2^{2}*3
[/mm]
D.h
dabei ist [mm] 2^{2} [/mm] = [mm] p^{e} [/mm] und m = 3 mit p prim, p teilt m nicht.
Es gibt also mindestens eine 2-Sylow- und eine 3-Sylowuntergruppe (Nach Satz 1 von Sylow)
[mm] |G|=p^{e}*m \Rightarrow n_{2}:= [/mm] Anzahl 2-Sylowuntergruppen
Jetzt [mm] n_{2}|3 (n_{2} [/mm] teilt 3) und [mm] n_{2}\equiv [/mm] 1 mod 2 [mm] \Rightarrow n_{2}=??? [/mm] oder welche?
Stimmt meine Vorgehensweise?
Danke schonmal. mfg :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:23 Mi 31.10.2012 | | Autor: | unibasel |
Sehr schade, dass mir niemand bis jetzt antworten konnte...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Do 01.11.2012 | | Autor: | hippias |
> Man beschreibe die 2-Sylowuntergruppen der folgenden
> Gruppen:
> 1) [mm]D_{10}[/mm]
> b) T (Tetraedergruppe)
> c) W (Würfelgruppe)
> d) Q (Quaternionengruppe)
> Also fangen wir doch mal an:
>
> ad a)
> [mm]|D_{10}|=20=2^{2}*5[/mm]
> dabei ist [mm]2^{2}[/mm] = [mm]p^{e}[/mm] und m = 5 mit p prim, p teilt m
> nicht.
>
> Es gibt also mindestens eine 2-Sylow- und eine
> 5-Sylowuntergruppe (Nach Satz 1 von Sylow)
>
> Es gilt nach dem 3. Satz von Sylow:
>
> [mm]|G|=p^{e}*m \Rightarrow n_{2}:=[/mm] Anzahl 2-Sylowuntergruppen
>
> Jetzt [mm]n_{2}|5 (n_{2}[/mm] teilt 5) und [mm]n_{2}\equiv[/mm] 1 mod 2
> [mm]\Rightarrow n_{2}=1,2,3,5[/mm] ??? oder welche?
Was ist denn aus Deiner Bedingung [mm] $n_{2}|5 [/mm] $ geworden?
> (Was genau bekomme ich jetzt für [mm]n_{2}?)[/mm]
>
> Und wie sieht es mit den anderen aus?
>
> ad b)
> [mm]|T|=12=2^{2}*3[/mm]
> D.h
> dabei ist [mm]2^{2}[/mm] = [mm]p^{e}[/mm] und m = 3 mit p prim, p teilt m
> nicht.
>
> Es gibt also mindestens eine 2-Sylow- und eine
> 3-Sylowuntergruppe (Nach Satz 1 von Sylow)
>
> [mm]|G|=p^{e}*m \Rightarrow n_{2}:=[/mm] Anzahl 2-Sylowuntergruppen
>
> Jetzt [mm]n_{2}|3 (n_{2}[/mm] teilt 3) und [mm]n_{2}\equiv[/mm] 1 mod 2
> [mm]\Rightarrow n_{2}=???[/mm] oder welche?
>
> Stimmt meine Vorgehensweise?
>
An sich ist Deine Vorgehensweise stimmig, aber es genuegt vielleicht nicht nur die Bedingungen fuer die Anzahlen, die sich auf den Sylow-Saetzen ergeben, aufzuschreiben. Du musst Dir auch noch die Struktur der Gruppen genauer anschauen: Sind sie abelsch, haben sie Normalteiler usw.
> Danke schonmal. mfg :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Do 01.11.2012 | | Autor: | unibasel |
ad a) habe ich herausgefunden, dass für [mm] n_{2}=1 [/mm] oder 5 in Frage kommt, einzige Teiler von 5 (mod 2).
Nun habe so weitergemacht:
Sei H eine 2-Sylowuntergruppe von [mm] D_{10} \Rightarrow |H|=p^{e}=2^{2}=4 [/mm]
d.h ord(h) | (teilt) 4 [mm] \forall [/mm] h [mm] \in [/mm] H
Also ord(h) = 1,2,4
Jetzt muss ich also noch angeben, welche Elemente der [mm] D_{10} [/mm] Ordnung 4 haben oder??
Kann mir niemand richtig helfen? :((((
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Do 01.11.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
also zu [mm] D_{10}:
[/mm]
Du weißt [mm] $ord(D_{10}) [/mm] = 20 = [mm] 2^2*5$ [/mm] Machs dir nicht so schwer und schau wie viele 5-Sylows es gibt: [mm] (s_5 [/mm] = Anzahl der 5-Sylows)
[mm] $s_5 [/mm] | 2$ und [mm] $s_5 \equiv [/mm] 1 mod(5) [mm] \Rightarrow s_5 [/mm] = 1$ Also gibt es nur eine 5-Sylow. Diese hat Ordnung 5. D.h. du hast von den 20 Elementen der [mm] D_{10} [/mm] schonmal 5 in der 5-Sylow. Beachte, dass das neutrale Element in allen Sylowuntergruppen enthalten ist. Also weißt du nun, dass noch 15 Elemente auf Sylowuntergruppen verteilt werden müssen (plus zusätzlich jeweils das neutrale Element). Da du aber nun nach den Sylowsätzen weißt, dass es nur noch 2-Sylowuntergruppen gibt, die jeweils Ordnung vier haben, kannst du nun doch schließen wieviel 2-Sylowuntergruppen es geben muss!
Hoffe das hilft.
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Do 01.11.2012 | | Autor: | unibasel |
Ja das wahrscheinlich schon (auch wenn mir jetzt das Lichtlein nicht aufgeht), aber die Frage ist ja, man "beschreibe".
Und ich muss in diesem Fall sagen, welche Elemente der [mm] D_{10} [/mm] Ordnung 4 haben? So hat es mir unser Assistent gesagt.
Aber wie gesagt weiter komme ich nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Do 01.11.2012 | | Autor: | teo |
Ok, ich wollt dir jetzt erstmal nur auf die Sprünge helfen, was die Anzahl der 2-Sylowuntergruppen betrifft. Es gibt also 5 2-Sylowuntergruppen, weil es eben nur eine 5-Sylowuntergruppe gibt, die gerade 5 Elemente enthält. Die restlichen werden dann eben auf die 5 -2-Sylowuntergruppen verteilt. Das zu meinem vorherigen Post.
Wenn die [mm] S_5 [/mm] die einzige 5-Sylowuntergruppe ist, was hat sie dann für eine Eigenschaft? Wie viele Elemente der Ordnung 5 gibt es?
So nun zu den Elementen der Ordnung 4. Ich würde vlt. mal die Elemente einer 2-Sylowuntergruppe konkret aufschreiben. Denn die 2-Sylowuntergruppen sind ja alle zueinander isomorph. D.h. kennst du eine kennst du alle  . Es gibt ja auch nur zwei Möglichkeiten, zu welcher Gruppe die 2-Sylow isomorph sein können, zur [mm] C_4 [/mm] oder zur [mm] V_4. [/mm]
Ich weiß es jetzt gerade nicht, aber bist du sicher, dass es überhaupt Elemente der Ordnung 4 gibt?
P.s. Denke dabei an die Charakterisierung der Diedergruppen. a^10 = id und [mm] b^2 [/mm] = id: aba = b -> das hilft dir für die Ordnungen
Grüße
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